Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} x^{3} \cdot \cos \left(x^{2}+\frac{1}{x^{3}}+3 x\right).

Passo 1

O enunciado pede
Calcular
\lim_{x \to 0} x^{3}\,\cos\!\Bigl(x^{2}+\tfrac{1}{x^{3}}+3x\Bigr).
Isso é um limite de produto entre uma função que tende a zero e uma função oscilante porém limitada. Vamos aplicar o Teorema do Confronto (ou “squeeze theorem”).

Passo 2

Sabemos que, para todo real t, vale
-1 \le \cos(t) \le 1.
Tomando t=x^{2}+\tfrac{1}{x^{3}}+3x, ainda temos
-1 \le \cos\!\Bigl(x^{2}+\tfrac{1}{x^{3}}+3x\Bigr) \le 1.
Multiplicando todas as partes por x^{3}, obtemos
-|x^{3}| \le x^{3}\,\cos\!\Bigl(x^{2}+\tfrac{1}{x^{3}}+3x\Bigr) \le |x^{3}|.

Passo 3

Como
\lim_{x\to 0} |x^{3}| = 0,
pelo Teorema do Confronto segue que
\lim_{x\to 0} x^{3}\,\cos\!\Bigl(x^{2}+\tfrac{1}{x^{3}}+3x\Bigr) = 0.

Resposta

0

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