Calcule
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x} \cdot \operatorname{sen}\left(x^{2}+\frac{1}{x^{3}}+3 x\right).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\,\sin\!\Bigl(x^{2} + \frac{1}{x^{3}} + 3x\Bigr).
O conteúdo aqui é análise de limite quando x\to\infty, usando o fato de que a função seno é limitada e aplicando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche).

Passo 2

Sabemos que, para todo t\in\mathbb{R}, vale
-1 \le \sin(t) \le 1.
Substituindo t = x^{2} + \frac{1}{x^{3}} + 3x, temos
-1 \le \sin\!\Bigl(x^{2} + \tfrac{1}{x^{3}} + 3x\Bigr) \le 1.
Multiplicando tudo por 1/x>0, obtemos
-\frac{1}{x} \le \frac{1}{x}\,\sin\!\Bigl(x^{2} + \tfrac{1}{x^{3}} + 3x\Bigr) \le \frac{1}{x}.
Como
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x} = 0
e também
\lim_{x\to\infty}\Bigl(-\tfrac{1}{x}\Bigr)=0,
pelo Teorema do Confronto concluímos que
\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}\,\sin\!\Bigl(x^{2} + \tfrac{1}{x^{3}} + 3x\Bigr) = 0.

Resposta

0

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