Calcule
Passo 1
O enunciado pede que se calcule
Informações dadas:
- O numerador é
. - O denominador é
. - A variável tende para infinito:
.
Passo 2
Ideia geral (intuição que vamos justificar): quando temos uma razão de polinômios (uma função racional) e
, os termos com maior potência de
dominam o comportamento. Aqui o maior grau no numerador e no denominador é
. Logo esperamos que o limite seja a razão dos coeficientes dos termos de grau
, isto é
. Agora vamos fazer isso passo a passo e justificar corretamente.
Passo 3
Técnica segura: dividir numerador e denominador pela maior potência presente, que é
. Primeiro escrevemos cada polinômio fatorando
:
Passo 4
Substituindo na razão e cancelando o fator comum
(válido para
; como estamos levando
a
isso não afeta o limite), obtemos
Passo 5
Agora aplicamos propriedades de limite:
- Se
então para todo . - O limite da soma é a soma dos limites (quando existem) e o limite do quociente é o quociente dos limites se o limite do denominador não for zero.
Usando isso,
Portanto
Passo 6
Regra rápida de memorização (útil na prova): para
,
- se
o limite é (depende dos sinais); - se
o limite é ; - se
o limite é .
Aqui
, então o limite é
.