Calcule
\lim _{u \rightarrow \infty} \frac{12 u^{5}+4 u^{3}-1}{3 u^{5}+1}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule
\lim_{u \to \infty} \frac{12 u^{5}+4 u^{3}-1}{3 u^{5}+1}.
Informações dadas:
  • O numerador é \;12 u^{5}+4 u^{3}-1\;.
  • O denominador é \;3 u^{5}+1\;.
  • A variável tende para infinito: u \to \infty.

Passo 2

Ideia geral (intuição que vamos justificar): quando temos uma razão de polinômios (uma função racional) e u\to\infty, os termos com maior potência de u dominam o comportamento. Aqui o maior grau no numerador e no denominador é 5. Logo esperamos que o limite seja a razão dos coeficientes dos termos de grau 5, isto é \dfrac{12}{3}=4. Agora vamos fazer isso passo a passo e justificar corretamente.

Passo 3

Técnica segura: dividir numerador e denominador pela maior potência presente, que é u^{5}. Primeiro escrevemos cada polinômio fatorando u^{5}:
12u^{5}+4u^{3}-1 = u^{5}\!\left(12+\frac{4}{u^{2}}-\frac{1}{u^{5}}\right),
3u^{5}+1 = u^{5}\!\left(3+\frac{1}{u^{5}}\right).

Passo 4

Substituindo na razão e cancelando o fator comum u^{5} (válido para u\neq0; como estamos levando u a \infty isso não afeta o limite), obtemos
\frac{12 u^{5}+4 u^{3}-1}{3 u^{5}+1} = \frac{u^{5}\!\left(12+\dfrac{4}{u^{2}}-\dfrac{1}{u^{5}}\right)}{u^{5}\!\left(3+\dfrac{1}{u^{5}}\right)} = \frac{12+\dfrac{4}{u^{2}}-\dfrac{1}{u^{5}}}{3+\dfrac{1}{u^{5}}}.

Passo 5

Agora aplicamos propriedades de limite:
  • Se u\to\infty então \dfrac{1}{u^{k}}\to 0 para todo k>0.
  • O limite da soma é a soma dos limites (quando existem) e o limite do quociente é o quociente dos limites se o limite do denominador não for zero.
Usando isso,
\lim_{u\to\infty}\left(12+\frac{4}{u^{2}}-\frac{1}{u^{5}}\right)=12+0-0=12,
\lim_{u\to\infty}\left(3+\frac{1}{u^{5}}\right)=3+0=3.
Portanto
\lim_{u\to\infty}\frac{12+\dfrac{4}{u^{2}}-\dfrac{1}{u^{5}}}{3+\dfrac{1}{u^{5}}}=\frac{12}{3}=4.

Passo 6

Regra rápida de memorização (útil na prova): para \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{a_n x^n+\cdots}{b_m x^m+\cdots},
  • se n>m o limite é \pm\infty (depende dos sinais);
  • se n<m o limite é 0;
  • se n=m o limite é \dfrac{a_n}{b_m}.
Aqui n=m=5, então o limite é \dfrac{12}{3}=4.

Resposta

\;4\;

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