Calcule
\lim _{x \rightarrow \infty} \sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o limite
\lim_{x \rightarrow \infty} \sqrt{x}.
Informações dadas:
  • A função considerada é x \mapsto \sqrt{x}.
  • O comportamento pedido é quando x cresce sem limite, isto é, x\to\infty.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite (é um número finito, ou a função cresce sem limite)?

Passo 2

Explicando o que significa \lim_{x\to\infty} f(x)=\infty (definição útil para provar resultados).
Dizemos que
\lim_{x\to\infty} f(x)=\infty
se, para todo número real M>0, existe um número N tal que, para todo x>N, vale f(x)>M.
Em palavras: dada qualquer altura M, a função ultrapassa essa altura e fica acima dela quando x é suficientemente grande.

Passo 3

Aplicando a definição ao caso f(x)=\sqrt{x}.
Seja um M>0 arbitrário. Vamos encontrar um N que garanta \sqrt{x}>M sempre que x>N.
Uma escolha natural é tomar
N=M^{2}.
Porque, se x>N, então x>M^{2}. Como a função raiz quadrada é crescente para x\ge0, ao aplicar raiz em ambos os lados obtemos
\sqrt{x}>\sqrt{M^{2}}.
Como M>0, tem-se \sqrt{M^{2}}=M. Logo, para todo x>N temos \sqrt{x}>M.

Passo 4

Concluímos pela definição (passo 2) que, como a escolha N=M^{2} funciona para qualquer M>0, a função \sqrt{x} cresce sem limite quando x\to\infty. Portanto o limite é infinito.
Comentário didático e motivador: isso significa que \sqrt{x} não tem um limite finito quando x vai para infinito — ela diverge para +\infty. Embora cresça mais lentamente que x (por exemplo, \sqrt{10000}=100 enquanto 10000 é muito maior), não deixa de aumentar sem bound. Bom trabalho em acompanhar a prova formal — essa técnica de escolher N em função de M é a que aparece com frequência em provas de limites para infinito.

Resposta

\infty

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