Calcule
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o limite
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O comportamento pedido é quando
cresce sem limite, isto é, .
A pergunta é: qual é o valor desse limite (é um número finito, ou a função cresce sem limite)?
Passo 2
Explicando o que significa
(definição útil para provar resultados).
Dizemos que
Dizemos que
se, para todo número real
, existe um número
tal que, para todo
, vale
.
Em palavras: dada qualquer altura , a função ultrapassa essa altura e fica acima dela quando
é suficientemente grande.
Em palavras: dada qualquer altura
Passo 3
Aplicando a definição ao caso
.
Seja um arbitrário. Vamos encontrar um
que garanta
sempre que
.
Seja um
Uma escolha natural é tomar
Porque, se
, então
. Como a função raiz quadrada é crescente para
, ao aplicar raiz em ambos os lados obtemos
Como
, tem-se
. Logo, para todo
temos
.
Passo 4
Concluímos pela definição (passo 2) que, como a escolha
funciona para qualquer
, a função
cresce sem limite quando
. Portanto o limite é infinito.
Comentário didático e motivador: isso significa que não tem um limite finito quando
vai para infinito — ela diverge para
. Embora cresça mais lentamente que
(por exemplo,
enquanto
é muito maior), não deixa de aumentar sem bound. Bom trabalho em acompanhar a prova formal — essa técnica de escolher
em função de
é a que aparece com frequência em provas de limites para infinito.
Comentário didático e motivador: isso significa que