Calcule
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{26 x^{5}+x}{2 x^{8}-3 x+5}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to -\infty}\frac{26x^{5}+x}{2x^{8}-3x+5}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio 26x^{5}+x.
  • O denominador é o polinômio 2x^{8}-3x+5.
  • A variável tende para -\infty.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite?

Passo 2

Ideia do método (explicando devagar): para limites de razão de polinômios quando x\to\pm\infty é eficiente dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{8}, do denominador). Isso transforma cada termo em algo do tipo constante multiplicado por 1/x^{k}, e sabemos que termos com 1/x^{k} vão a zero quando |x|\to\infty. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{8} (válido para x\neq0; no limite x\to -\infty isso é permitido):
\frac{26x^{5}+x}{2x^{8}-3x+5} = \frac{\dfrac{26x^{5}}{x^{8}}+\dfrac{x}{x^{8}}}{\dfrac{2x^{8}}{x^{8}}-\dfrac{3x}{x^{8}}+\dfrac{5}{x^{8}}} = \frac{\dfrac{26}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{7}}}{2-\dfrac{3}{x^{7}}+\dfrac{5}{x^{8}}}.

Passo 4

Agora vou analisar o comportamento de cada termo quando x\to -\infty.
Fato básico (explicando por quê): para todo inteiro k>0 vale
\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{k}}=0.
Justificativa rápida e intuitiva: quando x\to -\infty tem |x|\to\infty, então |x|^{k}\to\infty e 1/|x|^{k}\to0; como \frac{1}{x^{k}} tem módulo que vai a zero, a própria fração vai a zero. Exemplos simples: \lim_{x\to -\infty}1/x=0, \lim_{x\to -\infty}1/x^{2}=0.

Passo 5

Aplicando esse fato aos termos da expressão obtida:
\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{26}{x^{3}}+\frac{1}{x^{7}}\right)=0+0=0,
e
\lim_{x\to -\infty}\left(2-\frac{3}{x^{7}}+\frac{5}{x^{8}}\right)=2-0+0=2.

Passo 6

Como a função escrita após dividir por x^{8} é uma razão de duas expressões cujos limites existem e o limite do denominador é diferente de zero, podemos calcular o limite da razão como a razão dos limites. Assim
\lim_{x\to -\infty}\frac{26x^{5}+x}{2x^{8}-3x+5} = \frac{0}{2}=0.

Passo 7

Interpretação final curta e dica para a prova: o grau do denominador ( 8) é maior que o do numerador ( 5) por 3 unidades, então a razão tende a zero como uma constante vezes 1/x^{3}. Sempre que o grau do denominador for maior, o limite ao infinito (positivo ou negativo) é 0.

Resposta

0

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