Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - A variável tende para
.
A pergunta é: qual é o valor desse limite?
Passo 2
Ideia do método (explicando devagar): para limites de razão de polinômios quando
é eficiente dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
, do denominador). Isso transforma cada termo em algo do tipo constante multiplicado por
, e sabemos que termos com
vão a zero quando
. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
(válido para
; no limite
isso é permitido):
Passo 4
Agora vou analisar o comportamento de cada termo quando
.
Fato básico (explicando por quê): para todo inteiro
vale
Justificativa rápida e intuitiva: quando
tem
, então
e
; como
tem módulo que vai a zero, a própria fração vai a zero. Exemplos simples:
,
.
Passo 5
Aplicando esse fato aos termos da expressão obtida:
e
Passo 6
Como a função escrita após dividir por
é uma razão de duas expressões cujos limites existem e o limite do denominador é diferente de zero, podemos calcular o limite da razão como a razão dos limites. Assim
Passo 7
Interpretação final curta e dica para a prova: o grau do denominador (
) é maior que o do numerador (
) por
unidades, então a razão tende a zero como uma constante vezes
. Sempre que o grau do denominador for maior, o limite ao infinito (positivo ou negativo) é
.