Calcule \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{3} \cos (x)+x^{5} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)}{2 x^{4}+5 x^{2}+3}. Gabarito: \frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}\cos(x)+x^{5}\operatorname{sen}\bigl(\tfrac1x\bigr)}{2x^{4}+5x^{2}+3}.
O conteúdo aqui é análise de limites no infinito usando termos dominantes e expansão em série de Taylor para funções de pequeno argumento. Vamos identificar qual parte do numerador e do denominador domina, e usar a expansão de \operatorname{sen}(1/x) quando x\to\infty.

Passo 2

Observe que \cos(x) é limitada entre -1 e 1, então
\bigl|x^{3}\cos(x)\bigr|\le x^{3},
o que faz com que
x^{3}\cos(x)=o(x^{4}) \quad\bigl(\text{é desprezível frente a }x^{4}\bigr).éí

Passo 3

Para o termo x^{5}\operatorname{sen}\bigl(\tfrac1x\bigr), usamos a expansão de Taylor em torno de zero:
\operatorname{sen}(z)=z-\frac{z^{3}}{6}+o(z^{3}) \quad\text{quando }z\to0.
Aqui z=1/x, logo
\operatorname{sen}\bigl(\tfrac1x\bigr) =\frac1x-\frac{1}{6x^{3}}+o\bigl(\tfrac1{x^{3}}\bigr).
Multiplicando por x^{5}, obtemos
x^{5}\operatorname{sen}\bigl(\tfrac1x\bigr) =x^{4}-\frac{x^{2}}{6}+o(x^{2}) \quad\bigl(\text{logo é }x^{4}+o(x^{4})\bigr).é

Passo 4

Agora o numerador vale
x^{3}\cos(x)+x^{5}\operatorname{sen}\bigl(\tfrac1x\bigr) =x^{4}+o(x^{4}),
e o denominador
2x^{4}+5x^{2}+3=2x^{4}+o(x^{4}).
Dividindo numerador e denominador por x^{4}, temos
\frac{x^{4}+o(x^{4})}{2x^{4}+o(x^{4})} =\frac{1+o(1)}{2+o(1)} \longrightarrow\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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