Sejam \vec{\alpha}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right) e \vec{\beta}=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right) funções vetoriais n-dimensionais e f uma função de uma variável real a valores reais. Suponha que
Lema usado (ferramenta básica que vamos provar e usar): se x(t)\to X e y(t)\to Y quando t\to t_0 (com x,y funções reais), então x(t)y(t)\to XY. Vou mostrar isso com detalhes porque é importante saber usar no exame.
Prova do lema (produto de limites — versão detalhada, epsilon–delta):
Seja \varepsilon>0. Como x(t)\to X, existe \delta_1>0 tal que |x(t)-X|<1 sempre que 0<|t-t_0|<\delta_1. Daí para esses t vale
|x(t)| \le |X| + 1.
Também, como x(t)\to X e y(t)\to Y, existem \delta_2>0 e \delta_3>0 tais que, sempre que 0<|t-t_0|<\delta_2 temos
|x(t)-X|<\frac{\varepsilon}{2(|Y|+1)},
e sempre que 0<|t-t_0|<\delta_3 temos
|y(t)-Y|<\frac{\varepsilon}{2(|X|+1)}.
Tome \delta=\min(\delta_1,\delta_2,\delta_3). Para 0<|t-t_0|<\delta calculamos:
Ou seja, cada termo da soma converge para o produto das componentes correspondentes.
Passo 5
Agora usar que soma finita de limites é limite da soma (vamos também mostrar de forma direta e construtiva): seja \varepsilon>0. Como para cada i temos \alpha_i(t)\beta_i(t)\to a_i b_i, existe \delta_i>0 tal que, se 0<|t-t_0|<\delta_i, então
Pronto — mostramos passo a passo e de forma rigorosa que o limite do produto escalar é o produto escalar dos limites. Vai com fé para a prova: a ideia-chave é transformar o produto escalar em soma de produtos escalares (componentes) e usar duas propriedades simples de limites (produto e soma), que acabamos de provar.