Sejam \vec{\alpha}=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}\right) e \vec{\beta}=\left(\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right) funções vetoriais n-dimensionais e f uma função de uma variável real a valores reais. Suponha que
\lim _{t \rightarrow t_{0}} \vec{\alpha}(t)=\vec{a}, \quad \lim _{t \rightarrow t_{0}} \vec{\beta}(t)=\vec{b}, \quad \lim _{t \rightarrow t_{0}} f(t)=L
onde \vec{a}=\left(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right) e \vec{b}=\left(b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{n}\right). Mostre que:
\lim _{t \rightarrow t_{0}} \vec{\alpha}(t) \cdot \vec{\beta}(t)=\vec{a} \cdot \vec{b}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Temos duas funções vetoriais \vec{\alpha} = (\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n) e \vec{\beta} = (\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n).
  • Temos limites escalares conhecidos:
\lim_{t\to t_0}\vec{\alpha}(t)=\vec{a}=(a_1,a_2,\ldots,a_n),\qquad \lim_{t\to t_0}\vec{\beta}(t)=\vec{b}=(b_1,b_2,\ldots,b_n).
  • Queremos mostrar que
\lim_{t\to t_0} \vec{\alpha}(t)\cdot\vec{\beta}(t)=\vec{a}\cdot\vec{b}.
Observações úteis extraídas do enunciado (que serão usadas depois): as componentes satisfazem
\lim_{t\to t_0}\alpha_i(t)=a_i,\qquad \lim_{t\to t_0}\beta_i(t)=b_i,
para todo i=1,\dots,n.

Passo 2

Escrever a produto escalar componente a componente: por definição de produto escalar em \mathbb{R}^n,
\vec{\alpha}(t)\cdot\vec{\beta}(t)=\sum_{i=1}^n \alpha_i(t)\,\beta_i(t), \qquad \vec{a}\cdot\vec{b}=\sum_{i=1}^n a_i\,b_i.
Portanto basta provar que o limite da soma das n funções escalares \alpha_i(t)\beta_i(t) é a soma dos limites a_i b_i, ou seja
\lim_{t\to t_0}\sum_{i=1}^n \alpha_i(t)\beta_i(t)=\sum_{i=1}^n a_i b_i.

Passo 3

Lema usado (ferramenta básica que vamos provar e usar): se x(t)\to X e y(t)\to Y quando t\to t_0 (com x,y funções reais), então x(t)y(t)\to XY. Vou mostrar isso com detalhes porque é importante saber usar no exame.
Prova do lema (produto de limites — versão detalhada, epsilon–delta):
Seja \varepsilon>0. Como x(t)\to X, existe \delta_1>0 tal que |x(t)-X|<1 sempre que 0<|t-t_0|<\delta_1. Daí para esses t vale
|x(t)| \le |X| + 1.
Também, como x(t)\to X e y(t)\to Y, existem \delta_2>0 e \delta_3>0 tais que, sempre que 0<|t-t_0|<\delta_2 temos
|x(t)-X|<\frac{\varepsilon}{2(|Y|+1)},
e sempre que 0<|t-t_0|<\delta_3 temos
|y(t)-Y|<\frac{\varepsilon}{2(|X|+1)}.
Tome \delta=\min(\delta_1,\delta_2,\delta_3). Para 0<|t-t_0|<\delta calculamos:
\begin{aligned} |x(t)y(t)-XY| &=|x(t)(y(t)-Y) + Y(x(t)-X)|\\\ &\le |x(t)|\,|y(t)-Y| + |Y|\,|x(t)-X|\\\ &\le (|X|+1)\cdot\frac{\varepsilon}{2(|X|+1)} + |Y|\cdot\frac{\varepsilon}{2(|Y|+1)}\\\ &\le \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \end{aligned}
Portanto x(t)y(t)\to XY. Isto mostra rigorosamente que produto de limites escalares é limite do produto.

Passo 4

Aplicação do lema às componentes: para cada i=1,\dots,n sabemos que
\lim_{t\to t_0}\alpha_i(t)=a_i,\qquad \lim_{t\to t_0}\beta_i(t)=b_i.
Pelo lema do Passo 3, para cada i vale
\lim_{t\to t_0}\alpha_i(t)\beta_i(t)=a_i b_i.
Ou seja, cada termo da soma converge para o produto das componentes correspondentes.

Passo 5

Agora usar que soma finita de limites é limite da soma (vamos também mostrar de forma direta e construtiva): seja \varepsilon>0. Como para cada i temos \alpha_i(t)\beta_i(t)\to a_i b_i, existe \delta_i>0 tal que, se 0<|t-t_0|<\delta_i, então
\big|\alpha_i(t)\beta_i(t)-a_i b_i\big|<\frac{\varepsilon}{n}.
Tome \delta=\min_{1\le i\le n}\delta_i. Para 0<|t-t_0|<\delta temos, usando desigualdade triangular,
\begin{aligned} \Big|\sum_{i=1}^n \alpha_i(t)\beta_i(t) - \sum_{i=1}^n a_i b_i\Big| &\le \sum_{i=1}^n \big|\alpha_i(t)\beta_i(t)-a_i b_i\big| \\\ &< \sum_{i=1}^n \frac{\varepsilon}{n} = \varepsilon. \end{aligned}
Isso prova que
\lim_{t\to t_0}\sum_{i=1}^n \alpha_i(t)\beta_i(t)=\sum_{i=1}^n a_i b_i.

Passo 6

Concluir: juntando Passos 2, 4 e 5, obtém-se exatamente a igualdade pedida:
\lim_{t\to t_0} \vec{\alpha}(t)\cdot\vec{\beta}(t) = \lim_{t\to t_0}\sum_{i=1}^n \alpha_i(t)\beta_i(t) = \sum_{i=1}^n a_i b_i = \vec{a}\cdot\vec{b}.
Pronto — mostramos passo a passo e de forma rigorosa que o limite do produto escalar é o produto escalar dos limites. Vai com fé para a prova: a ideia-chave é transformar o produto escalar em soma de produtos escalares (componentes) e usar duas propriedades simples de limites (produto e soma), que acabamos de provar.

Resposta

\vec{a}\cdot\vec{b}

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