Calcule lim theta 0 cotg theta-cossec thetatheta cdot cossec theta.

Passo 1

O enunciado pede
limthetato 0cottheta-cscthetatheta,csctheta
Este é um limite envolvendo funções trigonométricas, e vamos usar identidades básicas ( cottheta e csctheta em termos de sintheta e costheta) e as expansões assintóticas de costheta ou o limite conhecido sin x/xto1.

Passo 2

Reescrevendo em função de sintheta e costheta:
cottheta=costhetasintheta, csctheta=1sintheta
Substituindo na expressão:
cottheta-cscthetatheta,csctheta =costhetasintheta-1sinthetatheta;1sintheta =costheta-1sinthetathetasintheta

Passo 3

Simplificando a fração acima (os sintheta se cancelam):
cottheta-cscthetatheta,csctheta =costheta-1theta

Passo 4

Para thetato0 usamos a expansão
costheta=1-theta^22+o(theta^2),
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costheta-1theta =-theta2+o(theta);longrightarrow;0

Resposta

0

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