Exercício 29. Seja contínua. Desejamos encontrar números reais e que minimizem a integral
Mostre que tais números existem e são soluções do sistema
Passo 1
O enunciado pede aproximar em norma L^2([0,1]) a função contínua f por um polinômio de grau,2
p(x)=A x^2 + B x + C
de modo a minimizar
J(A,B,C)=integral0^1l(f(x)-p(x)r)^2,dx
Para isso vamos usar cálculo de várias variáveis: primeiro mostramos que J é coerciva e contínua, garantindo existência de um mínimo global, e em seguida derivamos partial J/partial A=0, partial J/partial B=0, partial J/partial C=0 para obter o sistema de equações normais.
Passo 2
Mostramos que J é coerciva em R^3. Note que
J(A,B,C) =integral0^1l(f(x)-A x^2-B x-Cr)^2,dx
é uma forma quadrática positiva em (A,B,C) somada a termos lineares e constantes. Como integral0^1x^4,dx>0, o termo em A^2 faz J(A,B,C)to+infty sempre que |(A,B,C)|toinfty. Sendo contínua e coerciva, J atinge um mínimo global em algum ponto (A,B,C)inR^3.
Passo 3
Agora calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Por exemplo,
partial Jpartial A = partialpartial Aintegral0^1l(f-pr)^2 = integral0^12l(p(x)-f(x)r),x^2,dx = 0