Exercício 29. Seja f:[0,1] R contínua. Desejamos encontrar números reais A, B e C que minimizem a integral
integral0^1(f(x)-(A x^2+B x+C))^2 d x
Mostre que tais números existem e são soluções do sistema
l A5+B4+C3=2 integral0^1 x^2 f(x) d x A4+B3+C2=2 integral0^1 x f(x) d x A3+B2+C=2 integral0^1 f(x) d x

Passo 1

O enunciado pede aproximar em norma L^2([0,1]) a função contínua f por um polinômio de grau ,2
p(x)=A x^2 + B x + C
de modo a minimizar
J(A,B,C)=integral0^1l(f(x)-p(x)r)^2,dx
Para isso vamos usar cálculo de várias variáveis: primeiro mostramos que J é coerciva e contínua, garantindo existência de um mínimo global, e em seguida derivamos partial J/partial A=0, partial J/partial B=0, partial J/partial C=0 para obter o sistema de equações normais.

Passo 2

Mostramos que J é coerciva em R^3. Note que
J(A,B,C) =integral0^1l(f(x)-A x^2-B x-Cr)^2,dx
é uma forma quadrática positiva em (A,B,C) somada a termos lineares e constantes. Como integral0^1x^4,dx>0, o termo em A^2 faz J(A,B,C)to+infty sempre que |(A,B,C)|toinfty. Sendo contínua e coerciva, J atinge um mínimo global em algum ponto (A,B,C)inR^3.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Por exemplo,
partial Jpartial A = partialpartial Aintegral0^1l(f-pr)^2 = integral0^12l(p(x)-f(x)r),x^2,dx = 0
Isso dá
integral0^1l(A x^2+B x+Cr),x^2,dx =integral0^1x^2f(x),dx
Analogamente,
partial Jpartial B=0 ;Longrightarrow; integral0^1l(A x^2+B x+Cr),x,dx =integral0^1x,f(x),dx,
partial Jpartial C=0 ;Longrightarrow; integral0^1l(A x^2+B x+Cr),dx =integral0^1f(x),dx

Passo 4

Basta agora calcular as integrais de potências de x:
integral0^1x^4,dx=tfrac15, integral0^1x^3,dx=tfrac14, integral0^1x^2,dx=tfrac13, integral0^1x,dx=tfrac12, integral0^11,dx=1
Substituindo em cada equação e, se quisermos, multiplicando ambos os lados por 2, chegamos exatamente ao sistema pedido:
dfracA5+dfracB4+dfracC3 =2integral0^1x^2f(x),dx,[1em] dfracA4+dfracB3+dfracC2 =2integral0^1x,f(x),dx,[1em] dfracA3+dfracB2+C =2integral0^1f(x),dx ]

Resposta

O mínimo de
integral0^1l(f(x)-(A x^2+B x+C)r)^2,dx
existe por coercividade de J(A,B,C) e é dado pela solução (A,B,C) do sistema
dfracA5+dfracB4+dfracC3 =2integral0^1x^2f(x),dx,[1em] dfracA4+dfracB3+dfracC2 =2integral0^1x,f(x),dx,[1em] dfracA3+dfracB2+C =2integral0^1f(x),dx ]

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