5.4N Efetuando as substituições indicadas, determine a solução geral das seguintes equações diferenciais:
(y-4 x)^2 d x-d y=0 ; z=y-4 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(y - 4x)^2,dx ;-; dy ;=;0
e indica a substituição
z = y - 4x
Este é um caso de EDO de primeira ordem que fica mais simples após a troca de variáveis ymapsto z.

Passo 2

Como z = y - 4x, temos
dz = dy - 4,dx Longrightarrow dy = dz + 4,dx
Substituindo em (y-4x)^2,dx - dy = 0 com y-4x=z, vem
z^2,dx - (dz + 4,dx) = 0 Longrightarrow (z^2 - 4),dx ;-; dz = 0

Passo 3

Reescrevendo em forma separável,
(z^2-4),dx = dz Longrightarrow dx = dzz^2-4
Agora integramos ambos os lados.

Passo 4

À esquerda integral dx = x + C1. À direita fazemos frações parciais:
1z^2-4 = 1(z-2)(z+2) = 14l(1z-2-1z+2r)
Logo
integral dzz^2-4 = 14lnl|z-2z+2r| + C2
Igualando, obtemos
x = 14lnl|z-2z+2r| + C,
onde C = C2-C1.

Passo 5

Voltando a z = y - 4x, a solução geral fica dada implicitamente por
lnl|y-4x-2y-4x+2r| = 4x + C Long<=ftrightarrow lnl|y-4x-2y-4x+2r| - 4x = C

Resposta

boxedlnl|y-4x-2y-4x+2r|;-;4x = C,
que é a solução geral da EDO após a substituição z=y-4x.

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