Calcule
lim x 0^+[cos 3 x]^1sen x

Passo 1

Temos que calcular limxto0^+ [cos3x]^1/sin x. Esse problema envolve limites de funções na forma a(x)^b(x), e vamos precisar usar logaritmo e expansões em série de Taylor para resolver.

Passo 2

Para lidar com a potência, definimos f(x) = [cos3x]^1/sin x e usamos ln f(x) = ln(cos3x)sin x. Assim, nosso objetivo passa a ser calcular limxto0^+ ln(cos3x)sin x.

Passo 3

Expandimos cos3x em torno de zero:
cos3x = 1 - (3x)^22 + O(x^4) = 1 - 9x^22 + O(x^4)
Logo,
ln(cos3x) = lnl(1 - tfrac9x^22 + O(x^4)r) = -9x^22 + O(x^4)

Passo 4

Sabendo que sin x = x + O(x^3), temos
ln(cos3x)sin x = -tfrac9x^22 + O(x^4)x + O(x^3) = -9x2 + O(x^3) xrightarrow[xto0] 0

Passo 5

Como ln f(x)to0, segue que f(x)to e^0 = 1. Portanto, o limite pedido é 1.

Resposta

1

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