O enunciado pede para verificar a continuidade da função de duas variáveis definida por
O conteúdo é continuidade em R^2, que exige checar pontos fora e no possível ponto problemático (0,0).
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0) temos que 2x^2+y^2>0, e tanto numerador x^2y^6 quanto denominador 2x^2+y^2 são funções polinomiais. Logo, f(x,y) é quociente de funções contínuas com denominador não nulo, portanto contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).
Passo 3
Para estudar a continuidade em (0,0) precisamos calcular
lim(x,y)to(0,0)x^2y^62x^2+y^2
Se esse limite existir e for igual a 1, então f seria contínua em (0,0); caso contrário, não.
Passo 4
Usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta. Então