Verifique se a função f(x, y)=llx^2 y^62 x^2+y^2, & (x, y) neq(0,0) 1 & (x, y)=(0,0) é contínua em toda parte.

Passo 1

O enunciado pede para verificar a continuidade da função de duas variáveis definida por
f(x,y)= dfracx^2y^62x^2+y^2,&(x,y)neq(0,0) 1,&(x,y)=(0,0)
O conteúdo é continuidade em R^2, que exige checar pontos fora e no possível ponto problemático (0,0).

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0) temos que 2x^2+y^2>0, e tanto numerador x^2y^6 quanto denominador 2x^2+y^2 são funções polinomiais. Logo, f(x,y) é quociente de funções contínuas com denominador não nulo, portanto contínua em todo ponto (x,y)neq(0,0).

Passo 3

Para estudar a continuidade em (0,0) precisamos calcular
lim(x,y)to(0,0)x^2y^62x^2+y^2
Se esse limite existir e for igual a 1, então f seria contínua em (0,0); caso contrário, não.

Passo 4

Usamos coordenadas polares: x=rcostheta, y=rsintheta. Então
x^2y^62x^2+y^2= r^2cos^2theta;r^6sin^6thetar^2(2cos^2theta+sin^2theta) = r^6cdotcos^2thetasin^6theta2cos^2theta+sin^2theta
Como 2cos^2theta+sin^2theta>=1 e |cos^2thetasin^6theta|<=1, o fator angular fica limitado por [-1,1]. Assim
l|x^2y^62x^2+y^2r|<= r^6
e rto0 implica r^6to0. Portanto
lim(x,y)to(0,0)x^2y^62x^2+y^2=0neq1

Resposta

A função é contínua em todo (x,y)neq(0,0) e descontinua em (0,0), pois o limite lá vale 0, mas f(0,0)=1.

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