Use a fórmula de redução
integral sen^2 x d x=x2
ou
l n integral sen^n x d x=-cos x sen^n-1 x+(n-1) integral sen^n-2 x d x integral sen^n x d x=-1n cos x sen^n-1 x+n-1n integral sen^n-2 x d x
para calcular integral0^pi / 2 sen^4 x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida integral0^pi/2sin^4x,dx usando a fórmula de redução para potências de seno. Estamos em Cálculo Integral, e vamos usar a relação\n integralsin^nx,dx=-1ncos x,sin^n-1x+n-1nintegralsin^n-2x,dx
além do resultado conhecido integralsin^2x,dx=tfrac x2.

Passo 2

Aplicando a fórmula de redução com n=4, obtemos a integral indefinida:
integralsin^4x,dx=-14cos x,sin^3x+34integralsin^2x,dx

Passo 3

Agora vamos avaliar a integral definida de 0 a pi/2. Primeiro, o termo de fronteira:
-14l[cos x,sin^3xr]0^pi/2=-14(0-0)=0

Passo 4

O que resta é tfrac34integral0^pi/2sin^2x,dx. Sabemos que
integral0^pi/2sin^2x,dx=[ x2]0^pi/2=pi/22=pi4

Passo 5

Multiplicando pelo fator tfrac34, concluímos que
integral0^pi/2sin^4x,dx=34cdotpi4=3pi16

Resposta

3pi16

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