Calcule:
lim x +infty(1+2x)^x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limx to +inftyl(1+2xr)^x+1
O conteúdo é a noção de limite de sequência/exponencial contínuo e a famosa identidade
limttoinftyl(1+atr)^t = e^a
Vamos usar essa propriedade e, se quiser maior rigor, o logaritmo para passar o expoente para frente.

Passo 2

Reescrevemos a expressão em dois fatores para explorar diretamente a identidade acima:
l(1+2xr)^x+1 = l(1+2xr)^x,l(1+2xr)

Passo 3

Agora tomamos o limite de cada fator separadamente:
  1. De acordo com a identidade,
limxto+inftyl(1+2xr)^x = e^2
  1. E é claro que
limxto+inftyl(1+2xr) = 1
Como o produto de limites é o limite do produto (quando ambos existem e são finitos), concluímos
limx to +inftyl(1+2xr)^x+1 = e^2cdot1 = e^2

Resposta

e^2

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