Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{12 x^{2}}{\operatorname{tg}(2 x) \cdot \operatorname{sen}(3 x)}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 0}\frac{12x^{2}}{\tan(2x)\,\sin(3x)}.
O conteúdo envolve limites e usos dos limites notáveis
\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1 e \lim_{u\to0}\frac{\tan u}{u}=1.

Passo 2

Reescrevemos a expressão de modo a aparecerem frações com as razões notáveis:
\frac{12x^{2}}{\tan(2x)\,\sin(3x)} =12\cdot\frac{x^{2}}{2x\cdot3x}\cdot\frac{2x}{\tan(2x)}\cdot\frac{3x}{\sin(3x)} =2\cdot\frac{2x}{\tan(2x)}\cdot\frac{3x}{\sin(3x)}.

Passo 3

À medida que x\to0 vale
\frac{\tan(2x)}{2x}\to1 \Rightarrow \frac{2x}{\tan(2x)}\to1
e
\frac{\sin(3x)}{3x}\to1 \Rightarrow \frac{3x}{\sin(3x)}\to1.
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\lim_{x\to0}\frac{12x^{2}}{\tan(2x)\,\sin(3x)} =2\cdot1\cdot1 =2.

Resposta

2

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