Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{5 \cdot \operatorname{sen}(7 x)}{4 x}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{5\cdot \operatorname{sen}(7x)}{4x}.
Este problema envolve limites de funções trigonométricas, em particular o limite fundamental
\displaystyle \lim_{u\to0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.
Para resolver, vamos usar propriedades de limites e manipulação algébrica.

Passo 2

Isolamos a constante \tfrac{5}{4} e reorganizamos o quociente:
\frac{5\cdot \operatorname{sen}(7x)}{4x} = \frac{5}{4}\,\frac{\operatorname{sen}(7x)}{x} = \frac{5}{4}\cdot 7\cdot \frac{\operatorname{sen}(7x)}{7x}.
Como
\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(7x)}{7x}=1,
temos
\lim_{x\to0}\frac{5\cdot \operatorname{sen}(7x)}{4x} = \frac{5}{4}\cdot 7\cdot 1 = \frac{35}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{35}{4}

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