Calcule
\lim _{x \rightarrow 4} \frac{\sqrt{2 x-8}}{x^{2}-16}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{2x-8}}{x^2-16}.
Ao substituir x=4 obtemos \sqrt{8-8}=0 no numerador e 16-16=0 no denominador, ou seja, uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Como dentro da raiz precisamos de 2x-8\ge 0, o domínio exige x\ge4, então o limite só faz sentido pela direita, isto é, x\to4^+. Vamos resolver essa indeterminação por fatoração e simplificação algébrica.

Passo 2

Reescrevemos o numerador e o denominador em fatores mais simples. Para o numerador:
\sqrt{2x-8}=\sqrt{2(x-4)}=\sqrt{2}\,\sqrt{x-4}.
Para o denominador, usamos a diferença de quadrados:
x^2-16=(x-4)(x+4).

Passo 3

Substituindo essas expressões na fração, para x>4 temos
\frac{\sqrt{2x-8}}{x^2-16} =\frac{\sqrt{2}\,\sqrt{x-4}}{(x-4)(x+4)} =\frac{\sqrt{2}}{(x+4)\,\sqrt{x-4}}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento quando x\to4^+:
  • (x+4)\to 8,
  • \sqrt{x-4}\to 0^+.
    Logo o denominador (x+4)\sqrt{x-4} tende a 8\cdot0^+=0^+, fazendo a fração crescer sem limite.

Resposta

+\infty

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