Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x}{x^{2}+9}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{x^{2}+9}.
O conteúdo envolvido é o de limites de funções e continuidade de funções elementares.

Passo 2

Observamos que \cos x é contínua em todo \mathbb{R} e que x^{2}+9 também é contínua em todo \mathbb{R} e nunca zera (o valor mínimo é 9). Logo, podemos usar a propriedade do limite de quociente:
\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{x^{2}+9} =\frac{\lim_{x\to0}\cos x}{\lim_{x\to0}(x^{2}+9)}.

Passo 3

Calculando cada limite separadamente:
\lim_{x\to0}\cos x = \cos 0 = 1,
\lim_{x\to0}(x^{2}+9) = 0^{2}+9 = 9.
Substituindo, obtemos
\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{x^{2}+9} = \frac{1}{9}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{9}

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