Existe k \in \mathbb{R} tal que f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\operatorname{sen}(1 / x) & \text { se } x \neq 0 \\\ k & \text { se } x=0\end{array}\right. seja contínua em \mathbb{R} ?

Passo 1

O enunciado define
f(x)= \begin{cases} \sin\bigl(\tfrac1x\bigr),& x\neq0,\\\ k,& x=0, \end{cases}
e pergunta se existe k\in\mathbb{R} que torne f contínua em todo \mathbb{R}.
O conteúdo é continuidade de função definida por partes, e precisamos verificar a continuidade em x\neq0 (onde vale a composição de funções contínuas) e em x=0 (onde precisamos que \lim_{x\to0}f(x) exista e seja igual a k).

Passo 2

Para x\neq0, f(x)=\sin(1/x) é composição de \sin e da função x\mapsto1/x, ambas contínuas em seus domínios, logo f é contínua em \mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 3

Para que f seja contínua em 0, é necessário que
\lim_{x\to0}\sin\bigl(\tfrac1x\bigr)
exista e iguale a f(0)=k. Mas esse limite não existe. De fato, considere as duas subsequências que tendem a zero:
x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi n} \quad\Rightarrow\quad \sin\bigl(\tfrac1{x_n}\bigr) =\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2\pi n\bigr)=1,
y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi n} \quad\Rightarrow\quad \sin\bigl(\tfrac1{y_n}\bigr) =\sin\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n\bigr)=-1.
Como \sin(1/x) ao aproximar x\to0 assume valores arbitrariamente próximos de 1 e de -1, não há um único limite.

Passo 4

Como \lim_{x\to0}\sin(1/x) não existe, não há valor de k que faça
\lim_{x\to0}f(x)=f(0)=k.
Logo, não existe k\in\mathbb{R} que torne f contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

Não existe tal k.

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