Existe
tal que
seja contínua em
?
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se existe
que torne
contínua em todo
.
O conteúdo é continuidade de função definida por partes, e precisamos verificar a continuidade em (onde vale a composição de funções contínuas) e em
(onde precisamos que
exista e seja igual a
).
O conteúdo é continuidade de função definida por partes, e precisamos verificar a continuidade em
Passo 2
Para
,
é composição de
e da função
, ambas contínuas em seus domínios, logo
é contínua em
.
Passo 3
Para que
seja contínua em
, é necessário que
exista e iguale a
. Mas esse limite não existe. De fato, considere as duas subsequências que tendem a zero:
Como
ao aproximar
assume valores arbitrariamente próximos de
e de
, não há um único limite.
Passo 4
Como
não existe, não há valor de
que faça
Logo, não existe
que torne
contínua em todo
.
Resposta
Não existe tal
.