Calcule
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(1-\cos x)}{\operatorname{tg}^{3} x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0}\frac{x(1-\cos x)}{\tan^{3}x}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites usando séries de Taylor para funções trigonométricas. Vamos expandir \cos x e \tan x até ordem suficiente.

Passo 2

Expandindo \cos x em Taylor em torno de 0:
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6),
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1 - \cos x = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6).

Passo 3

Expandindo \tan x em Taylor em torno de 0:
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + O(x^5).
Elevando ao cubo:
\tan^3 x = \biggl(x + \frac{x^3}{3} + O(x^5)\biggr)^3 = x^3\bigl(1 + \tfrac{x^2}{3} + O(x^4)\bigr)^3 = x^3\bigl(1 + x^2 + O(x^4)\bigr).

Passo 4

Substituindo nas frações,
\frac{x(1-\cos x)}{\tan^3 x} = \frac{x\Bigl(\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + O(x^6)\Bigr)}{x^3(1 + x^2 + O(x^4))} = \frac{\frac{x^3}{2} - \frac{x^5}{24} + O(x^7)}{x^3(1 + x^2 + O(x^4))}.
Dividindo numerador e denominador por x^3,
= \frac{\tfrac12 - \tfrac{x^2}{24} + O(x^4)}{1 + x^2 + O(x^4)}.
Quando x\to0, isso tende a \tfrac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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