Calcule \lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt[3]{1+2 x+x^{2}}-\sqrt[3]{1+3 x}}{x^{2}}
a) -\infty
b) 0
c) +\infty
d) 1

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0^-}\frac{\sqrt[3]{1+2x+x^{2}}-\sqrt[3]{1+3x}}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função no numerador é a diferença entre duas raízes cúbicas: \sqrt[3]{1+2x+x^{2}} e \sqrt[3]{1+3x}.
  • O limite é tomado quando x tende a 0 pela esquerda (ou seja, x\to 0^-).
  • Queremos o comportamento da razão quando x é pequeno; notamos que o denominador é x^{2}, então termos até ordem x^{2} no numerador poderão ser relevantes.

Passo 2

Vou usar a expansão em série (fórmula do binômio para expoente qualquer) para funções do tipo (1+u)^{\alpha} com |u| pequeno. A fórmula até a ordem u^{2} é
(1+u)^{\alpha}=1+\alpha u+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}u^{2}+o(u^{2}),
onde o(u^{2}) significa termos que, divididos por u^{2}, tendem a 0 quando u\to 0. Aqui:
  • \alpha=\tfrac{1}{3} (porque é raiz cúbica),
  • u será uma expressão em x pequena (por exemplo u=2x+x^{2} ou u=3x).
    Explico rapidamente os coeficientes: o termo linear é \alpha u; o termo quadrático vem de \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}u^{2} — para \alpha=\tfrac{1}{3} teremos \frac{1/3\cdot(-2/3)}{2}=-\tfrac{1}{9}.

Passo 3

Expando a primeira raiz cúbica \sqrt[3]{1+2x+x^{2}}=(1+u_{1})^{1/3} com u_{1}=2x+x^{2}. Aplicando a fórmula:
(1+u_{1})^{1/3}=1+\tfrac{1}{3}u_{1}-\tfrac{1}{9}u_{1}^{2}+o(u_{1}^{2}).
Agora calcule u_{1} e u_{1}^{2} até ordem x^{2}:
u_{1}=2x+x^{2},
u_{1}^{2}=(2x+x^{2})^{2}=4x^{2}+O(x^{3}).
Substituindo (mantendo termos até x^{2}):
\sqrt[3]{1+2x+x^{2}}=1+\tfrac{1}{3}(2x+x^{2})-\tfrac{1}{9}(4x^{2})+o(x^{2}).
Agora simplifico os coeficientes em x e x^{2}:
\sqrt[3]{1+2x+x^{2}}=1+\tfrac{2}{3}x+\left(\tfrac{1}{3}-\tfrac{4}{9}\right)x^{2}+o(x^{2}) =1+\tfrac{2}{3}x-\tfrac{1}{9}x^{2}+o(x^{2}).

Passo 4

Agora expandimos a segunda raiz cúbica \sqrt[3]{1+3x}=(1+u_{2})^{1/3} com u_{2}=3x. Aplicando a mesma fórmula:
(1+u_{2})^{1/3}=1+\tfrac{1}{3}u_{2}-\tfrac{1}{9}u_{2}^{2}+o(u_{2}^{2}).
Aqui u_{2}=3x e u_{2}^{2}=9x^{2}. Substituindo:
\sqrt[3]{1+3x}=1+\tfrac{1}{3}\cdot 3x-\tfrac{1}{9}\cdot 9x^{2}+o(x^{2}) =1+x-x^{2}+o(x^{2}).

Passo 5

Subtraio as duas expansões para obter uma expansão do numerador até ordem x^{2}:
\sqrt[3]{1+2x+x^{2}}-\sqrt[3]{1+3x}= \bigl(1+\tfrac{2}{3}x-\tfrac{1}{9}x^{2}+o(x^{2})\bigr)-\bigl(1+x-x^{2}+o(x^{2})\bigr).
Cancelando os 1 e agrupando termos:
\sqrt[3]{1+2x+x^{2}}-\sqrt[3]{1+3x}= \left(\tfrac{2}{3}-1\right)x+\left(-\tfrac{1}{9}+1\right)x^{2}+o(x^{2}).
Simplificando coeficientes:
\sqrt[3]{1+2x+x^{2}}-\sqrt[3]{1+3x}= -\tfrac{1}{3}x+\tfrac{8}{9}x^{2}+o(x^{2}).

Passo 6

Divido a expansão do numerador por x^{2} (que é o denominador do limite):
\frac{\sqrt[3]{1+2x+x^{2}}-\sqrt[3]{1+3x}}{x^{2}} = -\tfrac{1}{3}\cdot\frac{1}{x}+\tfrac{8}{9}+o(1).
Quando x\to 0^{-} (isto é, x tende a zero vindo da esquerda), temos \frac{1}{x}\to -\infty. Portanto o termo dominante -\tfrac{1}{3}\cdot\frac{1}{x} tende a
-\tfrac{1}{3}\cdot(-\infty)=+\infty.
O termo \tfrac{8}{9} e o o(1) são negligíveis frente ao termo que diverge. Logo a razão diverge para +\infty.

Passo 7

Conclusão: o limite não é um número finito; ele diverge para +\infty quando x\to 0^{-}.

Resposta

c) +\infty

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