Calcule
a)
b) 0
c)
d) 1
a)
b) 0
c)
d) 1
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A função no numerador é a diferença entre duas raízes cúbicas:
e . - O limite é tomado quando
tende a pela esquerda (ou seja, ). - Queremos o comportamento da razão quando
é pequeno; notamos que o denominador é , então termos até ordem no numerador poderão ser relevantes.
Passo 2
Vou usar a expansão em série (fórmula do binômio para expoente qualquer) para funções do tipo
com
pequeno. A fórmula até a ordem
é
onde
significa termos que, divididos por
, tendem a
quando
. Aqui:
-
(porque é raiz cúbica), -
será uma expressão em pequena (por exemplo ou ).
Explico rapidamente os coeficientes: o termo linear é; o termo quadrático vem de — para teremos .
Passo 3
Expando a primeira raiz cúbica
com
. Aplicando a fórmula:
Agora calcule
e
até ordem
:
Substituindo (mantendo termos até
):
Agora simplifico os coeficientes em
e
:
Passo 4
Agora expandimos a segunda raiz cúbica
com
. Aplicando a mesma fórmula:
Aqui
e
. Substituindo:
Passo 5
Subtraio as duas expansões para obter uma expansão do numerador até ordem
:
Cancelando os
e agrupando termos:
Simplificando coeficientes:
Passo 6
Divido a expansão do numerador por
(que é o denominador do limite):
Quando
(isto é,
tende a zero vindo da esquerda), temos
. Portanto o termo dominante
tende a
O termo
e o
são negligíveis frente ao termo que diverge. Logo a razão diverge para
.
Passo 7
Conclusão: o limite não é um número finito; ele diverge para
quando
.
Resposta
c)