Dê dois exemplos de triângulos retângulos isósceles tais que a hipotenusa seja menor do que
que sejam diferentes, e não sejam congruentes.
Passo 1
O enunciado pede que eu dê dois exemplos de triângulos que satisfaçam três condições simultâneas:
- Cada triângulo deve ser retângulo e isósceles.
- A hipotenusa de cada triângulo deve ser menor do que
. - Os dois triângulos devem ser diferentes entre si e não congruentes (isto é, não terem todos os lados correspondentes iguais).
Informações relevantes dadas/úteis que extrairei do enunciado:
- A constante
é o número de Euler (aproximadamente ); sempre que eu comparar com posso usar que e . - Para um triângulo retângulo isósceles, os dois catetos têm o mesmo comprimento; vou chamar esse comprimento de
. A hipotenusa depende de e será usada para comparar com .
(Não vou resolver nada além de identificar o que é pedido e quais dados usarei — a resolução começa no próximo passo.)
Passo 2
Conceito e fórmula básica que vou usar — explicadinha e sem pular etapas:
- Teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, se os catetos têm comprimentos
e e a hipotenusa tem comprimento , então
Isto vem da relação geométrica clássica que liga os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo.
- No caso de um triângulo retângulo isósceles os catetos são iguais. Se cada cateto tem comprimento
, então e . Aplicando Pitágoras:
portanto a hipotenusa é
Aqui
é o comprimento de cada cateto, e
é o comprimento da hipotenusa.
- Condição pedida: queremos
. Substituindo obtemos a condição equivalente
Ou seja, qualquer triângulo retângulo isósceles com catetos de comprimento
tal que
terá hipotenusa menor que
.
Passo 3
Estratégia prática para construir exemplos (explicação amigável): basta escolher dois valores distintos de
tais que
. Cada escolha produz um triângulo retângulo isósceles com hipotenusa
. Para garantir que os triângulos não sejam congruentes, escolherei valores de
diferentes (se
s são diferentes, os lados são diferentes e, portanto, não há congruência por SSS).
Vou escolher valores simples e fáceis de calcular:
e
. Ambos são menores que
porque
, então satisfazem
.
Passo 4
Verificação do primeiro exemplo (
) — passo a passo:
- Catetos: cada um tem comprimento
. Hipotenusa:
- Comparação com
: dividir ambos os lados por (número positivo, então a desigualdade mantém o sentido) dá
o que é verdadeiro. Logo
, isto é, a hipotenusa desse triângulo é menor que
.
- Conclusão parcial: o triângulo com lados
é retângulo isósceles e satisfaz a condição pedida.
Passo 5
Verificação do segundo exemplo (
) — passo a passo:
- Catetos: cada um tem comprimento
. Hipotenusa:
- Comparação com
: dividir ambos os lados por dá
o que também é verdadeiro (pois
). Portanto
, ou seja, a hipotenusa é menor que
.
- Conclusão parcial: o triângulo com lados
é retângulo isósceles e satisfaz a condição pedida.
Passo 6
Verificação final de que os dois triângulos são diferentes e não congruentes:
- Os conjuntos de comprimentos dos lados são distintos:
e . Como pelo menos um lado correspondente tem comprimentos diferentes (por exemplo, os catetos são em um e no outro), não existe correspondência de lados que torne as três medidas iguais. Portanto não são congruentes por SSS. - Além disso, eles são claramente diferentes geometricamente (um é “menor” que o outro).
Observação adicional (para te dar confiança na prova): na verdade há uma família inteira de exemplos — qualquer
com
dá um triângulo retângulo isósceles válido. Escolhemos
e
por serem simples e convenientes para a prova.
Resposta
Triângulo 1: lados
Triângulo 2: lados