Dê dois exemplos de triângulos retângulos isósceles tais que a hipotenusa seja menor do que \sqrt{2} \mathrm{e} que sejam diferentes, e não sejam congruentes.

Passo 1

O enunciado pede que eu dê dois exemplos de triângulos que satisfaçam três condições simultâneas:
  1. Cada triângulo deve ser retângulo e isósceles.
  2. A hipotenusa de cada triângulo deve ser menor do que \sqrt{2}\,e.
  3. Os dois triângulos devem ser diferentes entre si e não congruentes (isto é, não terem todos os lados correspondentes iguais).
Informações relevantes dadas/úteis que extrairei do enunciado:
  • A constante e é o número de Euler (aproximadamente 2,718\ldots); sempre que eu comparar com e posso usar que e>2 e e>1.
  • Para um triângulo retângulo isósceles, os dois catetos têm o mesmo comprimento; vou chamar esse comprimento de a. A hipotenusa depende de a e será usada para comparar com \sqrt{2}\,e.
(Não vou resolver nada além de identificar o que é pedido e quais dados usarei — a resolução começa no próximo passo.)

Passo 2

Conceito e fórmula básica que vou usar — explicadinha e sem pular etapas:
  • Teorema de Pitágoras: em qualquer triângulo retângulo, se os catetos têm comprimentos x e y e a hipotenusa tem comprimento c, então
c^2 = x^2 + y^2.
Isto vem da relação geométrica clássica que liga os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo.
  • No caso de um triângulo retângulo isósceles os catetos são iguais. Se cada cateto tem comprimento a, então x=a e y=a. Aplicando Pitágoras:
c^2 = a^2 + a^2 = 2a^2,
portanto a hipotenusa é
c = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}.
Aqui a é o comprimento de cada cateto, e c é o comprimento da hipotenusa.
  • Condição pedida: queremos c < \sqrt{2}\,e. Substituindo c = a\sqrt{2} obtemos a condição equivalente
a\sqrt{2} < \sqrt{2}\,e \quad\Longleftrightarrow\quad a < e.
Ou seja, qualquer triângulo retângulo isósceles com catetos de comprimento a tal que a<e terá hipotenusa menor que \sqrt{2}\,e.

Passo 3

Estratégia prática para construir exemplos (explicação amigável): basta escolher dois valores distintos de a tais que 0<a<e. Cada escolha produz um triângulo retângulo isósceles com hipotenusa a\sqrt{2}. Para garantir que os triângulos não sejam congruentes, escolherei valores de a diferentes (se as são diferentes, os lados são diferentes e, portanto, não há congruência por SSS).
Vou escolher valores simples e fáceis de calcular: a=1 e a=2. Ambos são menores que e porque e\approx 2{,}718\ldots, então satisfazem a<e.

Passo 4

Verificação do primeiro exemplo ( a=1) — passo a passo:
  • Catetos: cada um tem comprimento 1. Hipotenusa:
c = 1\cdot\sqrt{2} = \sqrt{2}.
  • Comparação com \sqrt{2}\,e: dividir ambos os lados por \sqrt{2} (número positivo, então a desigualdade mantém o sentido) dá
1 < e,
o que é verdadeiro. Logo \sqrt{2} < \sqrt{2}\,e, isto é, a hipotenusa desse triângulo é menor que \sqrt{2}\,e.
  • Conclusão parcial: o triângulo com lados \{1,1,\sqrt{2}\} é retângulo isósceles e satisfaz a condição pedida.

Passo 5

Verificação do segundo exemplo ( a=2) — passo a passo:
  • Catetos: cada um tem comprimento 2. Hipotenusa:
c = 2\cdot\sqrt{2} = 2\sqrt{2}.
  • Comparação com \sqrt{2}\,e: dividir ambos os lados por \sqrt{2}
2 < e,
o que também é verdadeiro (pois e\approx 2{,}718\ldots). Portanto 2\sqrt{2} < \sqrt{2}\,e, ou seja, a hipotenusa é menor que \sqrt{2}\,e.
  • Conclusão parcial: o triângulo com lados \{2,2,2\sqrt{2}\} é retângulo isósceles e satisfaz a condição pedida.

Passo 6

Verificação final de que os dois triângulos são diferentes e não congruentes:
  • Os conjuntos de comprimentos dos lados são distintos: \{1,1,\sqrt{2}\} e \{2,2,2\sqrt{2}\}. Como pelo menos um lado correspondente tem comprimentos diferentes (por exemplo, os catetos são 1 em um e 2 no outro), não existe correspondência de lados que torne as três medidas iguais. Portanto não são congruentes por SSS.
  • Além disso, eles são claramente diferentes geometricamente (um é “menor” que o outro).
Observação adicional (para te dar confiança na prova): na verdade há uma família inteira de exemplos — qualquer a com 0<a<e dá um triângulo retângulo isósceles válido. Escolhemos a=1 e a=2 por serem simples e convenientes para a prova.

Resposta

Triângulo 1: lados \{1,1,\sqrt{2}\}
Triângulo 2: lados \{2,2,2\sqrt{2}\}

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