Dê dois exemplos de triângulos retângulos tais que a hipotenusa seja o dobro de um de seus catetos e que sejam diferentes, e não sejam congruentes. Existe alguma relação entre os catetos, nos dois exemplos?
Passo 1
O enunciado pede que eu dê dois exemplos de triângulos retângulos tais que a hipotenusa seja o dobro de um dos catetos, e que esses dois triângulos sejam diferentes e não congruentes. Também pergunta se existe alguma relação entre os catetos nos dois exemplos.
Informações relevantes dadas:
- Trata-se de triângulos retângulos (há um ângulo reto em cada triângulo).
- Em cada triângulo, a hipotenusa é o dobro de um dos catetos.
- Preciso fornecer dois exemplos distintos e não congruentes.
- Preciso responder se há alguma relação entre os catetos nos exemplos.
Passo 2
Vamos escolher notação clara e lembrar a ferramenta principal (aqui dou a “aula” sobre a fórmula que vamos usar).
Notação:
- Seja
o cateto cujo dobro é a hipotenusa (ou seja, o cateto que satisfaz a condição dada). - Seja
o outro cateto. - Seja
a hipotenusa.
Pythagoras (teorema que relaciona os lados de um triângulo retângulo):
Explicação da fórmula: em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa (
) é igual à soma dos quadrados dos catetos (
). Aqui
,
e
são comprimentos positivos.
Condição do enunciado: a hipotenusa é o dobro de um cateto, isto é,
Isso significa que a hipotenusa vale duas vezes o cateto
.
Passo 3
Substituo a condição
na fórmula de Pitágoras para obter relação entre
e
.
Substituição:
Desenvolvendo o quadrado:
Isolando
:
Tomando raiz quadrada (comprimentos são positivos):
Explicando passo a passo: do teorema de Pitágoras, trocamos
por
. O termo
vira
. Subtraindo
dos dois lados obtemos
. Como
,
.
Passo 4
Interpretação geométrica e relação de ângulos (mini-aula extra): a relação
é exatamente a proporção dos catetos num triângulo retângulo especial conhecido como triângulo
, cujos lados são proporcionais a
. Podemos ver por exemplo que, se a hipotenusa é
e o cateto oposto a um ângulo é
, então o seno desse ângulo é
. Se
, esse ângulo vale
. Portanto esse triângulo tem ângulos
e todos esses triângulos são semelhantes entre si (mesma forma, diferentes tamanhos possíveis).
Passo 5
Agora dou dois exemplos concretos diferentes e verifico que não são congruentes.
Exemplo 1: escolho
.
- Então
. - E
.
Verificação por Pitágoras:
ok.
Exemplo 2: escolho
(um valor diferente, para obter triângulo diferente).
- Então
. - E
.
Verificação:
ok.
Por que os triângulos não são congruentes? Dois triângulos são congruentes se todos os lados correspondentes (ou combinações suficientes de lados/ângulos) forem iguais. Aqui o primeiro triângulo tem lados
e o segundo tem
. Os comprimentos correspondentes do segundo são exatamente o dobro dos do primeiro, então os triângulos são semelhantes (mesma forma), mas não congruentes (não têm as mesmas medidas de lado, apenas proporção igual a
). Portanto são diferentes e não congruentes, como o enunciado pedia.
Passo 6
Recapitulando a relação entre os catetos (mini-conclusão didática):
- De forma geral, sempre que a hipotenusa for o dobro de um cateto
, o outro cateto satisfaz
- Isso significa que a razão entre os catetos é fixa:
- Geometricamente, todos esses triângulos são triângulos
e são semelhantes entre si; diferem apenas por escala.
Resposta
Os catetos satisfazem