Dê dois exemplos de triângulos retângulos tais que a hipotenusa seja o dobro de um de seus catetos e que sejam diferentes, e não sejam congruentes. Existe alguma relação entre os catetos, nos dois exemplos?

Passo 1

O enunciado pede que eu dê dois exemplos de triângulos retângulos tais que a hipotenusa seja o dobro de um dos catetos, e que esses dois triângulos sejam diferentes e não congruentes. Também pergunta se existe alguma relação entre os catetos nos dois exemplos.
Informações relevantes dadas:
  • Trata-se de triângulos retângulos (há um ângulo reto em cada triângulo).
  • Em cada triângulo, a hipotenusa é o dobro de um dos catetos.
  • Preciso fornecer dois exemplos distintos e não congruentes.
  • Preciso responder se há alguma relação entre os catetos nos exemplos.

Passo 2

Vamos escolher notação clara e lembrar a ferramenta principal (aqui dou a “aula” sobre a fórmula que vamos usar).
Notação:
  • Seja a o cateto cujo dobro é a hipotenusa (ou seja, o cateto que satisfaz a condição dada).
  • Seja b o outro cateto.
  • Seja c a hipotenusa.
Pythagoras (teorema que relaciona os lados de um triângulo retângulo):
a^2 + b^2 = c^2
Explicação da fórmula: em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa ( c^2) é igual à soma dos quadrados dos catetos ( a^2 + b^2). Aqui a, b e c são comprimentos positivos.
Condição do enunciado: a hipotenusa é o dobro de um cateto, isto é,
c = 2a.
Isso significa que a hipotenusa vale duas vezes o cateto a.

Passo 3

Substituo a condição c=2a na fórmula de Pitágoras para obter relação entre a e b.
Substituição:
a^2 + b^2 = c^2 = (2a)^2.
Desenvolvendo o quadrado:
a^2 + b^2 = 4a^2.
Isolando b^2:
b^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2.
Tomando raiz quadrada (comprimentos são positivos):
b = a\sqrt{3}.
Explicando passo a passo: do teorema de Pitágoras, trocamos c por 2a. O termo (2a)^2 vira 4a^2. Subtraindo a^2 dos dois lados obtemos b^2=3a^2. Como b>0, b=a\sqrt{3}.

Passo 4

Interpretação geométrica e relação de ângulos (mini-aula extra): a relação \dfrac{b}{a}=\sqrt{3} é exatamente a proporção dos catetos num triângulo retângulo especial conhecido como triângulo 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ, cujos lados são proporcionais a 1:\sqrt{3}:2. Podemos ver por exemplo que, se a hipotenusa é 2a e o cateto oposto a um ângulo é a, então o seno desse ângulo é \dfrac{a}{2}. Se \dfrac{a}{2}=\tfrac{1}{2}, esse ângulo vale 30^\circ. Portanto esse triângulo tem ângulos 30^\circ,60^\circ,90^\circ e todos esses triângulos são semelhantes entre si (mesma forma, diferentes tamanhos possíveis).

Passo 5

Agora dou dois exemplos concretos diferentes e verifico que não são congruentes.
Exemplo 1: escolho a=1.
  • Então b = a\sqrt{3} = 1\cdot\sqrt{3} = \sqrt{3}.
  • E c = 2a = 2.
Verificação por Pitágoras:
1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4 = 2^2,
ok.
Exemplo 2: escolho a=2 (um valor diferente, para obter triângulo diferente).
  • Então b = 2\sqrt{3}.
  • E c = 4.
Verificação:
2^2 + (2\sqrt{3})^2 = 4 + 4\cdot 3 = 4 + 12 = 16 = 4^2,
ok.
Por que os triângulos não são congruentes? Dois triângulos são congruentes se todos os lados correspondentes (ou combinações suficientes de lados/ângulos) forem iguais. Aqui o primeiro triângulo tem lados (1,\sqrt{3},2) e o segundo tem (2,2\sqrt{3},4). Os comprimentos correspondentes do segundo são exatamente o dobro dos do primeiro, então os triângulos são semelhantes (mesma forma), mas não congruentes (não têm as mesmas medidas de lado, apenas proporção igual a 2). Portanto são diferentes e não congruentes, como o enunciado pedia.

Passo 6

Recapitulando a relação entre os catetos (mini-conclusão didática):
  • De forma geral, sempre que a hipotenusa for o dobro de um cateto a, o outro cateto b satisfaz
b = a\sqrt{3}.
  • Isso significa que a razão entre os catetos é fixa:
\frac{b}{a}=\sqrt{3}.
  • Geometricamente, todos esses triângulos são triângulos 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ e são semelhantes entre si; diferem apenas por escala.

Resposta

(a,b,c)=(1,\sqrt{3},2)
(a,b,c)=(2,2\sqrt{3},4)
Os catetos satisfazem b=a\sqrt{3} (ou seja, \dfrac{b}{a}=\sqrt{3} em ambos os exemplos).

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