Calcule:
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} \frac{x^{2}-2 x-3}{x^{2}-6 x+9}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 3^{-}} \frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-6x+9}.
O conteúdo usado será fatoração de polinômios e análise de sinal para limites infinitos.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^{2}-2x-3 = (x-3)(x+1),
x^{2}-6x+9 = (x-3)^{2}.

Passo 3

Para x\neq 3, simplificamos a fração:
\frac{x^{2}-2x-3}{x^{2}-6x+9} =\frac{(x-3)(x+1)}{(x-3)^{2}} =\frac{x+1}{x-3}.

Passo 4

Agora, ao aproximar x de 3 pela esquerda x\to3^{-}, o numerador x+1\to 4 (positivo) e o denominador x-3\to 0^{-} (negativo pequeno). Logo,
\frac{x+1}{x-3}\;\longrightarrow\;\frac{4}{0^{-}} = -\infty.

Resposta

-\infty

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