Use as propriedades operatórias de limites de funções, no infinito, para calcular:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{-3 x^{2}+x+1}{x^{3}+7}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x^{2}+x+1}{x^{3}+7}
usando propriedades operatórias de limites no infinito. Aqui o grau do polinômio do numerador é 2 e o do denominador é 3, então esperamos, em geral, que o limite seja zero. Para confirmar, vamos reescrever a expressão de modo a evidenciar termos que tendem a zero.

Passo 2

Fatoramos x^{2} no numerador e x^{3} no denominador:
\frac{-3x^{2}+x+1}{x^{3}+7} = \frac{x^{2}\bigl(-3+\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x^{2}}\bigr)}{x^{3}\bigl(1+\tfrac{7}{x^{3}}\bigr)} = \frac{-3+\tfrac{1}{x}+\tfrac{1}{x^{2}}}{x\bigl(1+\tfrac{7}{x^{3}}\bigr)}.

Passo 3

À medida que x\to+\infty, temos \tfrac{1}{x}\to0, \tfrac{1}{x^{2}}\to0 e \tfrac{7}{x^{3}}\to0.
Logo a expressão acima fica
\frac{-3+0+0}{x\,(1+0)} =\frac{-3}{x},
e finalmente
\lim_{x\to+\infty}\frac{-3}{x}=0.

Resposta

0

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