Calcule os limites.
\lim _{t \rightarrow 0}\left(e^{-3 r} \mathbf{i}+\frac{t{2}}{\operatorname{sen}{2} t} \mathbf{j}+\cos 2 t \mathbf{k}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando t \to 0:
\lim_{t \rightarrow 0}\left(e^{-3r} \mathbf{i}+\frac{t^{2}}{\operatorname{sen}^{2} t} \mathbf{j}+\cos 2 t \mathbf{k}\right).
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é um campo vetorial com três componentes nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}.
  • Componente na direção \mathbf{i}: e^{-3r}. Não há t nessa parte (logo é constante em t).
  • Componente na direção \mathbf{j}: \dfrac{t^{2}}{\operatorname{sen}^{2} t}. (No texto original apareceu “sen”; a função trigonométrica será tratada como \sin nas demonstrações.)
  • Componente na direção \mathbf{k}: \cos 2t.
  • O problema solicita o limite do vetor inteiro quando t\to 0.

Passo 2

Primeiro fato útil (propriedade de limites de vetores): o limite de um vetor função é o vetor formado pelos limites das componentes, desde que cada limite componente exista. Em linguagem matemática:
\lim_{t\to 0}\big( f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k}\big) = \big(\lim_{t\to 0}f(t)\big)\mathbf{i}+\big(\lim_{t\to 0}g(t)\big)\mathbf{j}+\big(\lim_{t\to 0}h(t)\big)\mathbf{k},
quando os três limites escalares existem. Assim podemos calcular separadamente as três componentes do vetor.

Passo 3

Calcule a componente em \mathbf{i}. Como não há t nessa parcela, é uma constante em relação a t. Logo
\lim_{t\to 0} e^{-3r} = e^{-3r}.
Explicação didática: se c é constante, \lim_{t\to 0} c = c. Simples — essa já fica pronta.

Passo 4

Calcule a componente em \mathbf{j}:
\lim_{t\to 0}\frac{t^{2}}{\sin^{2} t} = \lim_{t\to 0}\left(\frac{t}{\sin t}\right)^{2}.
Portanto basta achar \lim_{t\to 0}\dfrac{t}{\sin t}. Usamos o limite trigonométrico clássico
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Uma breve justificativa desse clássico (esquema): para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale \cos t < \dfrac{\sin t}{t} < 1; ao tomar limites quando t\to 0^+ obtém-se 1\le \lim \dfrac{\sin t}{t}\le 1, logo o limite é 1. (O resultado vale também pela continuidade em torno de 0 considerando sinal simétrico.) Assim
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1 \quad\Rightarrow\quad \lim_{t\to 0}\frac{t}{\sin t}=1.
Elevando ao quadrado:
\lim_{t\to 0}\left(\frac{t}{\sin t}\right)^{2}=1^{2}=1.
Portanto a componente em \mathbf{j} tende a 1.

Passo 5

Calcule a componente em \mathbf{k}. A função \cos x é contínua, logo o limite de \cos(2t) quando t\to 0 é \cos(0) (substituição direta pela continuidade). Assim
\lim_{t\to 0}\cos 2t = \cos 0 = 1.
Explicação didática: continuidade significa que \lim_{x\to a} \cos x=\cos a; aqui a=0 e o argumento é 2t, que tende a 0 quando t\to 0.

Passo 6

Juntando as três componentes (pela propriedade do Passo 2), o limite vetorial é
e^{-3r}\mathbf{i} + 1\cdot\mathbf{j} + 1\cdot\mathbf{k}.

Resposta

e^{-3r}\mathbf{i}+\mathbf{j}+\mathbf{k}

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