Calcule os limites.
\lim _{t \rightarrow 0}\left(e^{-3 r} \mathbf{i}+\frac{t{2}}{\operatorname{sen}{2} t} \mathbf{j}+\cos 2 t \mathbf{k}\right)
\lim _{t \rightarrow 0}\left(e^{-3 r} \mathbf{i}+\frac{t{2}}{\operatorname{sen}{2} t} \mathbf{j}+\cos 2 t \mathbf{k}\right)
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
:
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é um campo vetorial com três componentes nas direções
. - Componente na direção
: . Não há nessa parte (logo é constante em ). - Componente na direção
: . (No texto original apareceu “sen”; a função trigonométrica será tratada como nas demonstrações.) - Componente na direção
: . - O problema solicita o limite do vetor inteiro quando
.
Passo 2
Primeiro fato útil (propriedade de limites de vetores): o limite de um vetor função é o vetor formado pelos limites das componentes, desde que cada limite componente exista. Em linguagem matemática:
quando os três limites escalares existem. Assim podemos calcular separadamente as três componentes do vetor.
Passo 3
Calcule a componente em
. Como não há
nessa parcela, é uma constante em relação a
. Logo
Explicação didática: se
é constante,
. Simples — essa já fica pronta.
Passo 4
Calcule a componente em
:
Portanto basta achar
. Usamos o limite trigonométrico clássico
Uma breve justificativa desse clássico (esquema): para
vale
; ao tomar limites quando
obtém-se
, logo o limite é
. (O resultado vale também pela continuidade em torno de
considerando sinal simétrico.) Assim
Elevando ao quadrado:
Portanto a componente em
tende a
.
Passo 5
Calcule a componente em
. A função
é contínua, logo o limite de
quando
é
(substituição direta pela continuidade). Assim
Explicação didática: continuidade significa que
; aqui
e o argumento é
, que tende a
quando
.
Passo 6
Juntando as três componentes (pela propriedade do Passo 2), o limite vetorial é