Calcule \lim _{x \rightarrow 1_{-}} \frac{2 x+3}{x^{2}-1} e \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{2 x+3}{x^{2}-1}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular os limites laterais da função
f(x)=\frac{2x+3}{x^{2}-1}
quando x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita. Ou seja:
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to 1^-}\frac{2x+3}{x^{2}-1}.
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to 1^+}\frac{2x+3}{x^{2}-1}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é \displaystyle \frac{2x+3}{x^{2}-1}.
  • O ponto de interesse é x=1, onde o denominador x^{2}-1 se anula, então devemos examinar limites unilaterais.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): quando o denominador de uma fração tende a 0 mas o numerador tende a um número finito diferente de 0, a fração tende a infinito em módulo. O sinal (positivo ou negativo infinito) depende dos sinais do numerador e do denominador próximos do ponto. Para limites unilaterais, determinamos o sinal do denominador ao nos aproximarmos pela esquerda ( x\to1^-) ou pela direita ( x\to1^+).

Passo 3

Fato algébrico útil: fatorando o denominador,
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Note que x+1 é contínuo e em x=1 vale 1+1=2, ou seja, é positivo e não se anula perto de x=1. O numerador em x=1 vale
2\cdot 1+3=5,
portanto o numerador tende para 5\neq 0 quando x\to1. Assim o comportamento da fração perto de x=1 é governado pelo fator (x-1) no denominador (já que x+1 permanece próximo de 2>0).

Passo 4

Para tornar a análise clara, faça a substituição x=1+h, com h\to 0. A função fica
\frac{2x+3}{x^{2}-1}=\frac{2(1+h)+3}{(1+h)^{2}-1}=\frac{5+2h}{(1+h)^{2}-1}.
Expandindo o denominador:
(1+h)^{2}-1=1+2h+h^{2}-1=2h+h^{2}=h(2+h).
Logo
\frac{2x+3}{x^{2}-1}=\frac{5+2h}{h(2+h)}.

Passo 5

Análise para x\to1^- (ou seja h\to 0^-, h negativo pequeno):
  • O numerador 5+2h tende para 5 e, para h suficientemente pequeno, é positivo (por exemplo, se h>-2{,}5 já é positivo).
  • O fator 2+h tende para 2>0, logo é positivo perto de h=0.
  • O fator h é negativo (porque h\to0^-).
    Portanto h(2+h) é negativo e tem módulo pequeno quando h está próximo de 0. Assim a fração \dfrac{5+2h}{h(2+h)} tem numerador positivo e denominador negativo pequeno, portanto tende para -\infty (módulo cresce sem limite enquanto o sinal é negativo). Concluímos
\lim_{x\to 1^-}\frac{2x+3}{x^{2}-1}=-\infty.

Passo 6

Análise para x\to1^+ (ou seja h\to 0^+, h positivo pequeno):
  • O numerador 5+2h tende para 5>0.
  • O fator 2+h é positivo (próximo de 2).
  • O fator h é positivo (porque h\to0^+).
    Logo h(2+h) é positivo pequeno, e a fração \dfrac{5+2h}{h(2+h)} tem numerador positivo dividido por denominador positivo pequeno, portanto tende para +\infty. Concluímos
\lim_{x\to 1^+}\frac{2x+3}{x^{2}-1}=+\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 1^-}\frac{2x+3}{x^{2}-1}=-\infty
\displaystyle \lim_{x\to 1^+}\frac{2x+3}{x^{2}-1}=+\infty

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