Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular os limites laterais da função
quando
se aproxima de
pela esquerda e pela direita. Ou seja:
- Calcular
. - Calcular
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é
. - O ponto de interesse é
, onde o denominador se anula, então devemos examinar limites unilaterais.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): quando o denominador de uma fração tende a
mas o numerador tende a um número finito diferente de
, a fração tende a infinito em módulo. O sinal (positivo ou negativo infinito) depende dos sinais do numerador e do denominador próximos do ponto. Para limites unilaterais, determinamos o sinal do denominador ao nos aproximarmos pela esquerda (
) ou pela direita (
).
Passo 3
Fato algébrico útil: fatorando o denominador,
Note que
é contínuo e em
vale
, ou seja, é positivo e não se anula perto de
. O numerador em
vale
portanto o numerador tende para
quando
. Assim o comportamento da fração perto de
é governado pelo fator
no denominador (já que
permanece próximo de
).
Passo 4
Para tornar a análise clara, faça a substituição
, com
. A função fica
Expandindo o denominador:
Logo
Passo 5
Análise para
(ou seja
,
negativo pequeno):
- O numerador
tende para e, para suficientemente pequeno, é positivo (por exemplo, se já é positivo). - O fator
tende para , logo é positivo perto de . - O fator
é negativo (porque ).
Portantoé negativo e tem módulo pequeno quando está próximo de . Assim a fração tem numerador positivo e denominador negativo pequeno, portanto tende para (módulo cresce sem limite enquanto o sinal é negativo). Concluímos
Passo 6
Análise para
(ou seja
,
positivo pequeno):
- O numerador
tende para . - O fator
é positivo (próximo de ). - O fator
é positivo (porque ).
Logoé positivo pequeno, e a fração tem numerador positivo dividido por denominador positivo pequeno, portanto tende para . Concluímos