Mostre que
tem ao menos uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função polinomial
tem ao menos uma raiz real.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Objetivo: provar existência de algum
tal que .
Passo 2
Avaliar
em dois pontos simples para procurar mudança de sinal (isso é uma estratégia comum e prática em provas). Calcular:
Portanto
e
: os valores em
e
têm sinais opostos.
Passo 3
Explicar por que isso é útil: polinômios são funções contínuas em todo
. Aqui vai uma pequena aula sobre isso, sem jargões:
- “Contínua” quer dizer que ao variar
um pouquinho, também varia só um pouquinho — não há saltos. - Polinômios são construídos por somas e produtos de potências de
(como , , constantes). Potências, somas e produtos de funções contínuas são contínuos. Logo é contínua. - O Teorema do Valor Intermediário (TVI) diz: se
é contínua em e e têm sinais opostos, então existe tal que . Intuição: uma curva contínua que passa de negativo a positivo tem de cruzar o eixo em algum ponto.
Passo 4
Aplicar o Teorema do Valor Intermediário a
no intervalo
. Já vimos que
é contínua,
e
. Pelo TVI existe então algum
com
Isso prova que existe ao menos uma raiz real de
.
Passo 5
(Comentário útil para a prova: unicidade da raiz.) Podemos ver que a raiz encontrada é, na verdade, única. Calcule a derivada:
Como
para todo
, tem-se
para todo
. Logo
é estritamente crescente em
. Uma função estritamente crescente só pode cortar o eixo
uma vez, então
tem exatamente uma raiz real (essa raiz está no intervalo
conforme mostrado).
Resposta
A função
tem ao menos uma raiz real.
Mais precisamente, existe exatamente uma raiz real e ela pertence ao intervalo .
Mais precisamente, existe exatamente uma raiz real e ela pertence ao intervalo