Mostre que p(x)=x^{3}+x-1 tem ao menos uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função polinomial p(x)=x^{3}+x-1 tem ao menos uma raiz real.
Informações dadas:
  • A função é p(x)=x^{3}+x-1.
  • Objetivo: provar existência de algum x\in\mathbb{R} tal que p(x)=0.

Passo 2

Avaliar p em dois pontos simples para procurar mudança de sinal (isso é uma estratégia comum e prática em provas). Calcular:
p(0)=0^{3}+0-1=-1,
p(1)=1^{3}+1-1=1.
Portanto p(0)=-1<0 e p(1)=1>0: os valores em x=0 e x=1 têm sinais opostos.

Passo 3

Explicar por que isso é útil: polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Aqui vai uma pequena aula sobre isso, sem jargões:
  • “Contínua” quer dizer que ao variar x um pouquinho, p(x) também varia só um pouquinho — não há saltos.
  • Polinômios são construídos por somas e produtos de potências de x (como x^{3}, x, constantes). Potências, somas e produtos de funções contínuas são contínuos. Logo p é contínua.
  • O Teorema do Valor Intermediário (TVI) diz: se f é contínua em [a,b] e f(a) e f(b) têm sinais opostos, então existe c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Intuição: uma curva contínua que passa de negativo a positivo tem de cruzar o eixo x em algum ponto.

Passo 4

Aplicar o Teorema do Valor Intermediário a p no intervalo [0,1]. Já vimos que p é contínua, p(0)=-1<0 e p(1)=1>0. Pelo TVI existe então algum c\in(0,1) com
p\text{(c)}=0.
Isso prova que existe ao menos uma raiz real de p.

Passo 5

(Comentário útil para a prova: unicidade da raiz.) Podemos ver que a raiz encontrada é, na verdade, única. Calcule a derivada:
p'(x)=3x^{2}+1.
Como 3x^{2}\ge 0 para todo x, tem-se p'(x)\ge 1>0 para todo x. Logo p é estritamente crescente em \mathbb{R}. Uma função estritamente crescente só pode cortar o eixo x uma vez, então p tem exatamente uma raiz real (essa raiz está no intervalo (0,1) conforme mostrado).

Resposta

A função p(x)=x^{3}+x-1 tem ao menos uma raiz real.
Mais precisamente, existe exatamente uma raiz real e ela pertence ao intervalo (0,1).

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