{\int_{0}^{1} \int_{x}^{2 x} \int_{0}^{y} 2 x y z d z d y d x\})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{x}^{2x}\int_{0}^{y} 2 x y z \,dz\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é 2 x y z.
  • As variáveis e limites estão organizados como:
    • z varia de 0 a y (integração interna);
    • y varia de x a 2x (integração do meio);
    • x varia de 0 a 1 (integração externa).
      A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral iterada.

Passo 2

Plano e ideia geral (me explica devagarinho como proceder).
  • Uma integral iterada como \int_{0}^{1}\int_{x}^{2x}\int_{0}^{y} f(x,y,z)\,dz\,dy\,dx se resolve integrando primeiro em z (tratando x e y como constantes), depois em y (com x constante) e por fim em x.
  • Regra de ouro (regra do potência): para n\neq -1,
\int z^{n}\,dz=\frac{z^{n+1}}{n+1}+C.
  • Constantes multiplicativas podem ser tiradas da integral: se c não depende de z, \int c\cdot g(z)\,dz = c\int g(z)\,dz.
    Aplicarei essas ideias passo a passo, integrando na ordem dz, depois dy, depois dx.

Passo 3

Integração interna em z:
\int_{0}^{y} 2 x y z \,dz.
Aqui x e y são constantes (na integração em z), então posso tirar 2 x y para fora:
2 x y \int_{0}^{y} z \,dz.
Agora uso a regra da potência com n=1:
\int z \,dz = \frac{z^{2}}{2}.
Avalio de 0 a y:
2 x y \cdot \left[\frac{z^{2}}{2}\right]_{0}^{y} = 2 x y \cdot \frac{y^{2}}{2} = x y^{3}.
Portanto a integral interna reduz a x y^{3}. A integral tripla vira a dupla
\int_{0}^{1}\int_{x}^{2x} x y^{3} \,dy\,dx.

Passo 4

Integração em y (segunda integral), tratando x como constante:
\int_{x}^{2x} x y^{3} \,dy = x \int_{x}^{2x} y^{3} \,dy.
Aplico a regra da potência com n=3:
\int y^{3}\,dy=\frac{y^{4}}{4}.
Logo
x \left[\frac{y^{4}}{4}\right]_{y=x}^{y=2x} = x\cdot\frac{1}{4}\left((2x)^{4}-x^{4}\right).
Calculo (2x)^{4}=16 x^{4}, então
x\cdot\frac{1}{4}\left(16 x^{4}-x^{4}\right) = x\cdot\frac{1}{4}\cdot 15 x^{4} = \frac{15}{4} x^{5}.
Assim a integral dupla foi reduzida à integral simples
\int_{0}^{1} \frac{15}{4} x^{5} \,dx.

Passo 5

Integração final em x:
\int_{0}^{1} \frac{15}{4} x^{5} \,dx = \frac{15}{4} \int_{0}^{1} x^{5} \,dx.
Usando a regra da potência ( \int x^{5}\,dx = \dfrac{x^{6}}{6}):
\frac{15}{4} \left[\frac{x^{6}}{6}\right]_{0}^{1} = \frac{15}{4}\cdot \frac{1}{6} = \frac{15}{24}.
Simplificando \dfrac{15}{24}=\dfrac{5}{8}.

Resposta

\dfrac{5}{8}

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