Calcule:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x+5}{x^{2}-9}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 3} \frac{x+5}{x^{2}-9}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é \dfrac{x+5}{x^{2}-9}.
  • O ponto de interesse é x=3.
  • Vou verificar o valor do numerador e do denominador em x=3:
    • Numerador em x=3: 3+5=8.
    • Denominador em x=3: 3^{2}-9=9-9=0.

Passo 2

Teste de substituição direta (regra básica de limites):
  • Se ao substituir x=a numa função racional o denominador não for zero, então o limite é o valor obtido pela substituição.
  • Aqui, ao substituir x=3, o numerador tende a 8 (não zero) e o denominador tende a 0. Isso dá uma forma do tipo \dfrac{\text{constante não nula}}{0}ã, que sugere que a função cresce sem limite em módulo (possível \pm\infty) — ou seja, há uma assíntota vertical em x=3.
    Portanto não podemos afirmar que o limite finito existe; precisamos analisar o comportamento ao aproximar 3 pela esquerda e pela direita (limites laterais).

Passo 3

Fatorar o denominador para facilitar a análise de sinal:
x^{2}-9=(x-3)(x+3).
Observação: essa fatoração é exata e foi feita usando a diferença de quadrados.

Passo 4

Analisar os sinais de cada fator quando x se aproxima de 3 pela esquerda ( x\to3^-) e pela direita ( x\to3^+):
  • O numerador x+5 é contínuo e, quando x\to3, tende a 8, que é positivo.
  • Para x próximo de 3:
    • O fator x+3 é aproximadamente 6, sempre positivo (tanto à esquerda quanto à direita de 3).
    • O fator x-3 muda de sinal:
      • Se x\to3^- então x-3<0 (pequeno e negativo).
      • Se x\to3^+ então x-3>0 (pequeno e positivo).
  • Conclusão sobre o sinal do denominador (x-3)(x+3):
    • Para x\to3^-: denominador é negativo (produto de negativo por positivo).
    • Para x\to3^+: denominador é positivo (produto de positivo por positivo).

Passo 5

Determinar os limites laterais usando sinal e módulo:
  • Como o numerador tende para 8>0 e o denominador tende para 0 com sinal negativo quando x\to3^-, a fração tende para -\infty. Logo
\lim_{x\to3^-}\frac{x+5}{x^{2}-9}=-\infty.
  • Como o numerador tende para 8>0 e o denominador tende para 0 com sinal positivo quando x\to3^+, a fração tende para +\infty. Logo
\lim_{x\to3^+}\frac{x+5}{x^{2}-9}=+\infty.

Passo 6

Conclusão sobre o limite bilateral:
  • Os limites laterais são diferentes (um é -\infty e o outro é +\infty), portanto o limite bilateral não existe como número finito nem mesmo como infinito único.
  • Formalmente, o limite quando x\to3 não existe porque os comportamentos pela esquerda e pela direita não coincidem.

Resposta

\lim_{x\to3^-}\dfrac{x+5}{x^{2}-9}=-\infty
\lim_{x\to3^+}\dfrac{x+5}{x^{2}-9}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to3}\dfrac{x+5}{x^{2}-9} não existe

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