Calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é
. - O ponto de interesse é
. - Vou verificar o valor do numerador e do denominador em
: - Numerador em
: . - Denominador em
: .
- Numerador em
Passo 2
Teste de substituição direta (regra básica de limites):
- Se ao substituir
numa função racional o denominador não for zero, então o limite é o valor obtido pela substituição. - Aqui, ao substituir
, o numerador tende a (não zero) e o denominador tende a . Isso dá uma forma do tipo , que sugere que a função cresce sem limite em módulo (possível ) — ou seja, há uma assíntota vertical em .
Portanto não podemos afirmar que o limite finito existe; precisamos analisar o comportamento ao aproximarpela esquerda e pela direita (limites laterais).
Passo 3
Fatorar o denominador para facilitar a análise de sinal:
Observação: essa fatoração é exata e foi feita usando a diferença de quadrados.
Passo 4
Analisar os sinais de cada fator quando
se aproxima de
pela esquerda (
) e pela direita (
):
- O numerador
é contínuo e, quando , tende a , que é positivo. - Para
próximo de : - O fator
é aproximadamente , sempre positivo (tanto à esquerda quanto à direita de ). - O fator
muda de sinal: - Se
então (pequeno e negativo). - Se
então (pequeno e positivo).
- Se
- O fator
- Conclusão sobre o sinal do denominador
: - Para
: denominador é negativo (produto de negativo por positivo). - Para
: denominador é positivo (produto de positivo por positivo).
- Para
Passo 5
Determinar os limites laterais usando sinal e módulo:
- Como o numerador tende para
e o denominador tende para com sinal negativo quando , a fração tende para . Logo
- Como o numerador tende para
e o denominador tende para com sinal positivo quando , a fração tende para . Logo
Passo 6
Conclusão sobre o limite bilateral:
- Os limites laterais são diferentes (um é
e o outro é ), portanto o limite bilateral não existe como número finito nem mesmo como infinito único. - Formalmente, o limite quando
não existe porque os comportamentos pela esquerda e pela direita não coincidem.