Calcule:
\lim _{x \rightarrow 7^{+}} \frac{5 x^{3}-1}{(7-x)^{2}}

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{x\to 7^{+}} \frac{5x^{3}-1}{(7-x)^{2}}.
Informações dadas:
  • A função a avaliar é x\mapsto \dfrac{5x^{3}-1}{(7-x)^{2}}.
  • O limite é quando x se aproxima de 7 pela direita (isto é, x>7 e x\to7).
  • Não há outras condições ou parâmetros.

Passo 2

Entender o comportamento do numerador quando x\to7.
Polinômios são funções contínuas: isso significa que, para um polinômio p(x),
\lim_{x\to a} p(x)=p(a).
Aqui o numerador é o polinômio p(x)=5x^{3}-1. Logo
\lim_{x\to7} (5x^{3}-1)=5\cdot 7^{3}-1.
Calcule 7^{3}: 7^{3}=343. Então
5\cdot 343-1=1715-1=1714.
Portanto o numerador tende ao valor finito e positivo 1714 quando x\to7.

Passo 3

Entender o comportamento do denominador quando x\to7^{+}.
O denominador é (7-x)^{2}. Quando x\to7, 7-x\to0. Como há a aproximação pela direita, x>7 implica 7-x<0, mas ao elevar ao quadrado obtemos sempre um número não negativo. Assim (7-x)^{2}\to0^{+} (tende a zero por valores positivos).
Resumo até aqui:
  • Numerador \to 1714 (constante positivo).
  • Denominador \to 0^{+} (positivo e muito pequeno).

Passo 4

Concluir o comportamento da razão com base nos passos anteriores.
Se o numerador tende a uma constante não nula (aqui 1714>0) e o denominador tende a zero por valores positivos, a fração tende a +\infty. Intuição: dividir um número positivo fixo por um número que fica cada vez menor e positivo produz um quociente que cresce sem limite.

Passo 5

Fazer uma justificação mais explícita com uma substituição conveniente (para ficar claro matematicamente).
Defina h=x-7. Quando x\to7^{+} temos h\to0^{+}. Reescrevendo a expressão em termos de h:
\frac{5x^{3}-1}{(7-x)^{2}}=\frac{5(7+h)^{3}-1}{(-h)^{2}}=\frac{5(7+h)^{3}-1}{h^{2}}.
Expandindo (7+h)^{3}:
(7+h)^{3}=343+147h+21h^{2}+h^{3}.
Multiplicando por 5 e subtraindo 1 obtemos
5(7+h)^{3}-1=1714+735h+105h^{2}+5h^{3}.
Dividindo por h^{2}:
\frac{5(7+h)^{3}-1}{h^{2}}=\frac{1714}{h^{2}}+\frac{735}{h}+105+5h.
Quando h\to0^{+}, os termos \dfrac{1714}{h^{2}} e \dfrac{735}{h} explodem para +\infty, dominando os demais termos finitos. Logo o limite é +\infty.

Passo 6

Conclusão final e comentário de intuição: como o numerador tende a 1714>0 e o denominador tende a 0^{+}, a fração cresce sem limite positivo.

Resposta

+\infty

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