Calcule:
Passo 1
O problema pede o valor do limite
Informações dadas:
- A função a avaliar é
. - O limite é quando
se aproxima de pela direita (isto é, e ). - Não há outras condições ou parâmetros.
Passo 2
Entender o comportamento do numerador quando
.
Polinômios são funções contínuas: isso significa que, para um polinômio ,
Polinômios são funções contínuas: isso significa que, para um polinômio
Aqui o numerador é o polinômio
. Logo
Calcule
:
. Então
Portanto o numerador tende ao valor finito e positivo
quando
.
Passo 3
Entender o comportamento do denominador quando
.
O denominador é . Quando
,
. Como há a aproximação pela direita,
implica
, mas ao elevar ao quadrado obtemos sempre um número não negativo. Assim
(tende a zero por valores positivos).
O denominador é
Resumo até aqui:
- Numerador
(constante positivo). - Denominador
(positivo e muito pequeno).
Passo 4
Concluir o comportamento da razão com base nos passos anteriores.
Se o numerador tende a uma constante não nula (aqui ) e o denominador tende a zero por valores positivos, a fração tende a
. Intuição: dividir um número positivo fixo por um número que fica cada vez menor e positivo produz um quociente que cresce sem limite.
Se o numerador tende a uma constante não nula (aqui
Passo 5
Fazer uma justificação mais explícita com uma substituição conveniente (para ficar claro matematicamente).
Defina . Quando
temos
. Reescrevendo a expressão em termos de
:
Defina
Expandindo
:
Multiplicando por
e subtraindo
obtemos
Dividindo por
:
Quando
, os termos
e
explodem para
, dominando os demais termos finitos. Logo o limite é
.
Passo 6
Conclusão final e comentário de intuição: como o numerador tende a
e o denominador tende a
, a fração cresce sem limite positivo.