Calcule:
\lim _{x \rightarrow-1^{-}} \frac{x^{2}-7 x+5}{-x^{2}+2 x+3}

Passo 1

O enunciado pede a seguinte quantidade: \displaystyle \lim_{x\to -1^{-}} \frac{x^{2}-7x+5}{-x^{2}+2x+3}.
Informações dadas:
  • A função é a razão de dois polinômios: numerador \,x^{2}-7x+5, e denominador \,-x^{2}+2x+3.
  • O limite é unicamente pela esquerda de x=-1 (isto é, x se aproxima de -1 por valores menores do que -1).

Passo 2

Vamos avaliar os polinômios no ponto x=-1 para ver o comportamento:
\text{numerador em }x=-1:\quad (-1)^{2}-7(-1)+5 = 1+7+5 = 13.
\text{denominador em }x=-1:\quad -(-1)^{2}+2(-1)+3 = -1-2+3 = 0.
Conclusão desta etapa: o numerador tende a 13 (não nulo) quando x\to-1, enquanto o denominador tende a 0. Explicação didática: se o numerador tende a um valor finito diferente de zero e o denominador tende a zero, a fração tende a infinito em módulo; o sinal (mais ou menos infinito) depende do sinal dos fatores próximos de x=-1.

Passo 3

Para determinar o sinal do denominador perto de x=-1, fatoramos o denominador:
-x^{2}+2x+3 = -\bigl(x^{2}-2x-3\bigr).
Agora fatoramos x^{2}-2x-3; suas raízes são x=3 e x=-1, logo
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Portanto
-x^{2}+2x+3 = -(x-3)(x+1).

Passo 4

Analisemos o sinal dos fatores quando x se aproxima de -1 pela esquerda (ou seja, x=-1-h com h>0 pequeno).
  • Para x à esquerda de -1 temos x+1<0 (por exemplo, em x=-1{,}1, x+1=-0{,}1).
  • Para esses mesmos x, x-3<0 (pois -1{,}1-3=-4{,}1 é negativo).
    Logo (x-3)(x+1) é o produto de dois números negativos, portanto é positivo. Mas há o sinal negativo à frente: -(x-3)(x+1) é, portanto, negativo.
    O numerador é contínuo e vale aproximadamente 13>0 perto de x=-1.
Assim, perto de x=-1 pela esquerda a fração tem numerador positivo e denominador negativo, portanto o quociente é negativo. Como o denominador tende a 0 enquanto o numerador tende a 13\neq0, o módulo da fração tende a +\infty. Combinando sinal e módulo: o limite é -\infty.

Passo 5

Interpretação final (motivacional rápido): você encontrou que o denominador zera em x=-1 fazendo a fração crescer em módulo sem limite, e o sinal foi determinado analisando os sinais dos fatores; portanto a resposta é um dos infinitos sinais — não um número finito.

Resposta

-\infty

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