Calcule:
Passo 1
O enunciado pede a seguinte quantidade:
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é a razão de dois polinômios: numerador
, e denominador . - O limite é unicamente pela esquerda de
(isto é, se aproxima de por valores menores do que ).
Passo 2
Vamos avaliar os polinômios no ponto
para ver o comportamento:
Conclusão desta etapa: o numerador tende a
(não nulo) quando
, enquanto o denominador tende a
. Explicação didática: se o numerador tende a um valor finito diferente de zero e o denominador tende a zero, a fração tende a infinito em módulo; o sinal (mais ou menos infinito) depende do sinal dos fatores próximos de
.
Passo 3
Para determinar o sinal do denominador perto de
, fatoramos o denominador:
Agora fatoramos
; suas raízes são
e
, logo
Portanto
Passo 4
Analisemos o sinal dos fatores quando
se aproxima de
pela esquerda (ou seja,
com
pequeno).
- Para
à esquerda de temos (por exemplo, em , ). - Para esses mesmos
, (pois é negativo).
Logoé o produto de dois números negativos, portanto é positivo. Mas há o sinal negativo à frente: é, portanto, negativo.
O numerador é contínuo e vale aproximadamenteperto de .
Assim, perto de
pela esquerda a fração tem numerador positivo e denominador negativo, portanto o quociente é negativo. Como o denominador tende a
enquanto o numerador tende a
, o módulo da fração tende a
. Combinando sinal e módulo: o limite é
.
Passo 5
Interpretação final (motivacional rápido): você encontrou que o denominador zera em
fazendo a fração crescer em módulo sem limite, e o sinal foi determinado analisando os sinais dos fatores; portanto a resposta é um dos infinitos sinais — não um número finito.