Calcule \lim _{x \rightarrow-\infty} f(g(x)).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -\infty} f(g(x)).
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma — não foram dadas expressões ou propriedades de f nem de g.
Pergunta exata: qual é o valor de \lim_{x\to -\infty} f(g(x))?

Passo 2

Por que não dá para resolver diretamente: para calcular \lim_{x\to -\infty} f(g(x)) é necessário saber pelo menos duas coisas:
  • qual é o comportamento de g(x) quando x\to -\infty, isto é, existe \displaystyle L=\lim_{x\to -\infty} g(x)? Se existir, L pode ser um número real, +\infty, -\infty ou pode não existir (oscilar).
  • qual é o comportamento de f(y) quando y se aproxima do valor que g(x) atinge (se L for finito) ou quando y\to\pm\infty (se g(x)\to\pm\infty). Em particular: f é contínua nesse ponto? Existe \lim_{y\to L} f(y) ou \lim_{y\to\pm\infty} f(y)?
Sem essas informações não há como dar um valor numérico ou simbólico único para a composição.

Passo 3

Teoria básica — caso mais simples (regra de substituição):
Se
\lim_{x\to -\infty} g(x)=L\in\mathbb{R}
e f é contínua em y=L, então vale
\lim_{x\to -\infty} f(g(x)) = f\bigl(\lim_{x\to -\infty} g(x)\bigr) = f(L).
Explicando devagar: continuidade de f em L significa que \lim_{y\to L} f(y)=f(L). Como g(x)\to L, as entradas g(x) vão para L, então aplicar f depois é o mesmo que aplicar f ao valor limite L.

Passo 4

Casos em que a regra simples não basta e o que fazer:
  • Se \displaystyle \lim_{x\to -\infty} g(x)=L\in\mathbb{R} existe, mas f não é contínua em L, então ainda podemos ter duas situações:
    • Se \displaystyle \lim_{y\to L} f(y) existe (mesmo que f(L) seja diferente desse limite), então \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(g(x))=\lim_{y\to L} f(y).
    • Se \displaystyle \lim_{y\to L} f(y) não existe, então \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(g(x)) também não existe (a menos que alguma cancelamento especial ocorra, o que é raro e precisa ser verificado).
  • Se \displaystyle \lim_{x\to -\infty} g(x)=+\infty ou -\infty, então é preciso estudar \displaystyle \lim_{y\to\pm\infty} f(y). Se esse limite existir (finito ou \pm\infty), ele será o limite da composição; caso contrário, o limite não existe.
  • Se g(x) não tem limite (oscila entre valores ou não converge), então a composição normalmente não tem limite, salvo situações muito especiais em que f “aplana” a oscilação (por exemplo, se f for constante).

Passo 5

Exemplos concretos (para aprender a fazer na prova):
Exemplo A — substituição válida:
Se g(x)=2x e f(y)=\arctan y. Então
\lim_{x\to -\infty} g(x)= -\infty.
Como \displaystyle \lim_{y\to -\infty} \arctan y = -\tfrac{\pi}{2}, conclui-se
\lim_{x\to -\infty} f(g(x)) = -\tfrac{\pi}{2}.
Passo a passo: primeiro calculo \lim g(x), obtive -\infty; depois calculo \lim_{y\to -\infty} f(y).
Exemplo B — limite do interior finito e f contínua:
Se g(x)=e^{x} e f(y)=\sqrt{y} (definida para y\ge0), então
\lim_{x\to -\infty} g(x)=0^+,
f é contínua em 0, logo
\lim_{x\to -\infty} f(g(x)) = f(0)=0.
Exemplo C — interior tende a 0 mas f não tem limite:
Se g(x)=e^{x} e f(y)=\sin(1/y) para y\neq 0 (qualquer definição em y=0), então
\lim_{x\to -\infty} g(x)=0^+,
porém \lim_{y\to 0^+} \sin(1/y) não existe (oscila). Portanto \lim_{x\to -\infty} f(g(x)) não existe.

Passo 6

Receita prática para a prova (passos a seguir quando aparecer uma composição):
  1. Calcular \displaystyle L=\lim_{x\to -\infty} g(x) (pode ser número finito, +\infty, -\infty ou não existir).
  2. Se L é finito, estudar \displaystyle \lim_{y\to L} f(y) e a continuidade de f em L.
  3. Se L=\pm\infty, estudar \displaystyle \lim_{y\to\pm\infty} f(y).
  4. Se g(x) não tem limite, tentar ver se f é constante ou “anula” a oscilação; caso contrário, o limite não existe.

Passo 7

Aplicando tudo ao enunciado concreto: como o enunciado não deu f nem g, não é possível executar os passos acima num valor concreto. Para dar um resultado preciso seria necessário, no mínimo, um dos seguintes dados:
  • uma expressão ou comportamento assintótico para g(x) quando x\to -\infty; e
  • uma informação sobre f (continuidade ou limite) no ponto que g(x) tende ou no infinito.

Resposta

Não é possível determinar \displaystyle \lim_{x\to -\infty} f(g(x)) sem saber as funções f e g; é preciso pelo menos \displaystyle \lim_{x\to -\infty} g(x) e o comportamento de f nesse limite.

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