Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
Informações fornecidas no enunciado: nenhuma — não foram dadas expressões ou propriedades de
nem de
.
Pergunta exata: qual é o valor de ?
Pergunta exata: qual é o valor de
Passo 2
Por que não dá para resolver diretamente: para calcular
é necessário saber pelo menos duas coisas:
- qual é o comportamento de
quando , isto é, existe ? Se existir, pode ser um número real, , ou pode não existir (oscilar). - qual é o comportamento de
quando se aproxima do valor que atinge (se for finito) ou quando (se ). Em particular: é contínua nesse ponto? Existe ou ?
Sem essas informações não há como dar um valor numérico ou simbólico único para a composição.
Passo 3
Teoria básica — caso mais simples (regra de substituição):
Se
Se
e
é contínua em
, então vale
Explicando devagar: continuidade de
em
significa que
. Como
, as entradas
vão para
, então aplicar
depois é o mesmo que aplicar
ao valor limite
.
Passo 4
Casos em que a regra simples não basta e o que fazer:
- Se
existe, mas não é contínua em , então ainda podemos ter duas situações: - Se
existe (mesmo que seja diferente desse limite), então . - Se
não existe, então também não existe (a menos que alguma cancelamento especial ocorra, o que é raro e precisa ser verificado).
- Se
- Se
ou , então é preciso estudar . Se esse limite existir (finito ou ), ele será o limite da composição; caso contrário, o limite não existe. - Se
não tem limite (oscila entre valores ou não converge), então a composição normalmente não tem limite, salvo situações muito especiais em que “aplana” a oscilação (por exemplo, se for constante).
Passo 5
Exemplos concretos (para aprender a fazer na prova):
Exemplo A — substituição válida:
Se e
. Então
Se
Como
, conclui-se
Passo a passo: primeiro calculo
, obtive
; depois calculo
.
Exemplo B — limite do interior finito e
contínua:
Se e
(definida para
), então
Se
Exemplo C — interior tende a
mas
não tem limite:
Se e
para
(qualquer definição em
), então
Se
porém
não existe (oscila). Portanto
não existe.
Passo 6
Receita prática para a prova (passos a seguir quando aparecer uma composição):
- Calcular
(pode ser número finito, , ou não existir). - Se
é finito, estudar e a continuidade de em . - Se
, estudar . - Se
não tem limite, tentar ver se é constante ou “anula” a oscilação; caso contrário, o limite não existe.
Passo 7
Aplicando tudo ao enunciado concreto: como o enunciado não deu
nem
, não é possível executar os passos acima num valor concreto. Para dar um resultado preciso seria necessário, no mínimo, um dos seguintes dados:
- uma expressão ou comportamento assintótico para
quando ; e - uma informação sobre
(continuidade ou limite) no ponto que tende ou no infinito.
Resposta
Não é possível determinar
sem saber as funções
e
; é preciso pelo menos
e o comportamento de
nesse limite.