Calcule o Rotacional
\vec{F}(x, y, z)=y x \vec{i}+x z \vec{k};

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
  • Foi dada a campo vetorial \vec{F}(x,y,z)=y x \,\vec{i}+x z \,\vec{k}.
  • Geralmente escrevemos os componentes explicitamente: \vec{F}(x,y,z)=(F_x,F_y,F_z)=(xy,\,0,\,xz).
  • O que pedem: calcular o rotacional de \vec{F}, isto é \nabla\times\vec{F}.

Passo 2

Definição e fórmula do rotacional (o que vamos usar) — aula curta.
  • O rotacional de um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é o vetor
\nabla\times\vec{F}=\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\vec{k}.
  • Explicando cada coisa: \nabla é o operador gradiente \nabla=(\partial/\partial x,\partial/\partial y,\partial/\partial z). Cada componente do rotacional combina derivadas parciais dos componentes de \vec{F}. As derivadas parciais tratam as outras variáveis como constantes (por exemplo \partial(xy)/\partial y = x porque x é constante em relação a y).

Passo 3

Identificar os componentes e preparar as derivadas.
  • Peguei do enunciado que F_x(x,y,z)=xy, F_y(x,y,z)=0 e F_z(x,y,z)=xz.
  • Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula uma a uma.

Passo 4

Calcular a componente na direção \vec{i}.
  • Precisamos de \dfrac{\partial F_z}{\partial y} e \dfrac{\partial F_y}{\partial z}.
  • Como F_z(x,y,z)=xz, ao derivar em relação a y obtemos
\frac{\partial F_z}{\partial y}=\frac{\partial (xz)}{\partial y}=0,
porque xz não depende de y.
  • Como F_y(x,y,z)=0,
\frac{\partial F_y}{\partial z}=\frac{\partial 0}{\partial z}=0.
  • Logo a componente i do rotacional é
\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}=0-0=0.

Passo 5

Calcular a componente na direção \vec{j}.
  • Precisamos de \dfrac{\partial F_x}{\partial z} e \dfrac{\partial F_z}{\partial x}.
  • Como F_x(x,y,z)=xy,
\frac{\partial F_x}{\partial z}=\frac{\partial (xy)}{\partial z}=0,
pois xy não depende de z.
  • Como F_z(x,y,z)=xz,
\frac{\partial F_z}{\partial x}=\frac{\partial (xz)}{\partial x}=z.
  • Portanto a componente j é
\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}=0-z=-z.

Passo 6

Calcular a componente na direção \vec{k}.
  • Precisamos de \dfrac{\partial F_y}{\partial x} e \dfrac{\partial F_x}{\partial y}.
  • Como F_y(x,y,z)=0,
\frac{\partial F_y}{\partial x}=\frac{\partial 0}{\partial x}=0.
  • Como F_x(x,y,z)=xy,
\frac{\partial F_x}{\partial y}=\frac{\partial (xy)}{\partial y}=x.
  • Logo a componente k é
\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}=0-x=-x.

Passo 7

Montagem final e interpretação rápida.
  • Juntando as três componentes encontramos
\nabla\times\vec{F}=0\vec{i}+(-z)\vec{j}+(-x)\vec{k}=-z\,\vec{j}-x\,\vec{k}.
  • Interpretação curta: o rotacional não é nulo (exceto em pontos onde x=0 e z=0), então \vec{F} não é conservativo em geral.

Resposta

\nabla\times\vec{F}=-z\,\vec{j}-x\,\vec{k}

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