Calcule o Rotacional
;
Passo 1
Enunciado e o que é pedido.
- Foi dada a campo vetorial
. - Geralmente escrevemos os componentes explicitamente:
. - O que pedem: calcular o rotacional de
, isto é .
Passo 2
Definição e fórmula do rotacional (o que vamos usar) — aula curta.
- O rotacional de um campo vetorial
é o vetor
- Explicando cada coisa:
é o operador gradiente . Cada componente do rotacional combina derivadas parciais dos componentes de . As derivadas parciais tratam as outras variáveis como constantes (por exemplo porque é constante em relação a ).
Passo 3
Identificar os componentes e preparar as derivadas.
- Peguei do enunciado que
, e . - Vamos calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula uma a uma.
Passo 4
Calcular a componente na direção
.
- Precisamos de
e . - Como
, ao derivar em relação a obtemos
porque
não depende de
.
- Como
,
- Logo a componente
do rotacional é
Passo 5
Calcular a componente na direção
.
- Precisamos de
e . - Como
,
pois
não depende de
.
- Como
,
- Portanto a componente
é
Passo 6
Calcular a componente na direção
.
- Precisamos de
e . - Como
,
- Como
,
- Logo a componente
é
Passo 7
Montagem final e interpretação rápida.
- Juntando as três componentes encontramos
- Interpretação curta: o rotacional não é nulo (exceto em pontos onde
e ), então não é conservativo em geral.