Se
é o vetor posição, determinar Rot
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição
e pede para determinar
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- O vetor posição em coordenadas cartesianas é dado por suas componentes nos eixos
. - A tarefa é calcular o rotacional (curl) desse campo vetorial em todo o espaço.
Passo 2
Definir o que é o operador rotacional e o operador nabla (del).
- O operador nabla é o vetor diferencial
- O rotacional de um campo vetorial
é
ou, componente a componente,
Passo 3
Escrever as componentes do vetor posição
.
Por definição,
Por definição,
portanto as componentes são
,
e
.
Passo 4
Calcular cada componente do rotacional usando as fórmulas das derivadas parciais.
Calculemos a componente
:
Como
não depende de
e
não depende de
,
logo
Calculemos a componente
:
Como
não depende de
e
não depende de
,
logo
Calculemos a componente
:
Como
não depende de
e
não depende de
,
logo
Passo 5
Juntando as componentes,
ou seja, o rotacional é o vetor nulo.
Passo 6
Apresentar uma observação alternativa (útil em prova):
é gradiente de um potencial escalar. Defina
Então
Como o rotacional de um gradiente é sempre zero,
o que confirma o resultado anterior. Esta via é bem prática na prova: se mostrar que um campo é gradiente, o rotacional já cai na hora.
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: o campo
aponta radialmente para fora e não “gira” em torno de nada, por isso é irrotacional. Você fez certinho — essa é uma conta curtinha e frequente em prova. Vai dar tudo certo!