Se \vec{r} é o vetor posição, determinar Rot \vec{r}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição \vec{r} e pede para determinar \operatorname{Rot}\vec{r}.
Informações fornecidas:
  • O vetor posição em coordenadas cartesianas é dado por suas componentes nos eixos x,y,z.
  • A tarefa é calcular o rotacional (curl) desse campo vetorial em todo o espaço.

Passo 2

Definir o que é o operador rotacional e o operador nabla (del).
  • O operador nabla é o vetor diferencial
\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x},\;\frac{\partial}{\partial y},\;\frac{\partial}{\partial z}\right).
  • O rotacional de um campo vetorial \vec{F}=(F_x,F_y,F_z) é
\operatorname{Rot}\vec{F}=\nabla\times\vec{F}= \begin{vmatrix} \hat{\imath} & \hat{\jmath} & \hat{k} \\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix},
ou, componente a componente,
(\operatorname{Rot}\vec{F})_x=\partial_y F_z-\partial_z F_y,
(\operatorname{Rot}\vec{F})_y=\partial_z F_x-\partial_x F_z,
(\operatorname{Rot}\vec{F})_z=\partial_x F_y-\partial_y F_x.

Passo 3

Escrever as componentes do vetor posição \vec{r}.
Por definição,
\vec{r}=x\,\hat{\imath}+y\,\hat{\jmath}+z\,\hat{k},
portanto as componentes são F_x=x, F_y=y e F_z=z.

Passo 4

Calcular cada componente do rotacional usando as fórmulas das derivadas parciais.
Calculemos a componente x:
(\operatorname{Rot}\vec{r})_x=\partial_y F_z-\partial_z F_y=\partial_y (z)-\partial_z (y).
Como z não depende de y e y não depende de z,
\partial_y (z)=0,\qquad \partial_z (y)=0,
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(\operatorname{Rot}\vec{r})_x=0-0=0.
Calculemos a componente y:
(\operatorname{Rot}\vec{r})_y=\partial_z F_x-\partial_x F_z=\partial_z (x)-\partial_x (z).
Como x não depende de z e z não depende de x,
\partial_z (x)=0,\qquad \partial_x (z)=0,
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(\operatorname{Rot}\vec{r})_y=0-0=0.
Calculemos a componente z:
(\operatorname{Rot}\vec{r})_z=\partial_x F_y-\partial_y F_x=\partial_x (y)-\partial_y (x).
Como y não depende de x e x não depende de y,
\partial_x (y)=0,\qquad \partial_y (x)=0,
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(\operatorname{Rot}\vec{r})_z=0-0=0.

Passo 5

Juntando as componentes,
\operatorname{Rot}\vec{r}=(0,0,0),
ou seja, o rotacional é o vetor nulo.

Passo 6

Apresentar uma observação alternativa (útil em prova): \vec{r} é gradiente de um potencial escalar. Defina
\varphi(x,y,z)=\tfrac{1}{2}(x^2+y^2+z^2).
Então
\nabla\varphi=(\partial_x\varphi,\partial_y\varphi,\partial_z\varphi)=(x,y,z)=\vec{r}.
Como o rotacional de um gradiente é sempre zero,
\operatorname{Rot}(\nabla\varphi)=\nabla\times(\nabla\varphi)=\vec{0},
o que confirma o resultado anterior. Esta via é bem prática na prova: se mostrar que um campo é gradiente, o rotacional já cai na hora.

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o campo \vec{r} aponta radialmente para fora e não “gira” em torno de nada, por isso é irrotacional. Você fez certinho — essa é uma conta curtinha e frequente em prova. Vai dar tudo certo!

Resposta

\vec{0}

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