Calcule
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1+\cos \left(x^{2}+3 x\right)}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{1+\cos\bigl(x^2+3x\bigr)}{x^2}.
O conteúdo envolve limites de funções oscilatórias e o uso do Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Observamos que, para todo x, vale
-1 \le \cos\bigl(x^2+3x\bigr)\le 1,
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0 \le 1 + \cos\bigl(x^2+3x\bigr)\le 2.

Passo 3

Dividindo todas as partes por x^2>0, obtemos
0 \le \frac{1+\cos\bigl(x^2+3x\bigr)}{x^2}\le \frac{2}{x^2}.
Como \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x^2}=0, o Teorema do Confronto garante que \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1+\cos\bigl(x^2+3x\bigr)}{x^2}=0.

Resposta

0

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