Calcule (sem usar a definição formal) os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} e^{1 / x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to -\infty} e^{1/x}
Sem usar definição formal de limite, vamos explorar o comportamento de 1/x quando x\to -\infty e usar a continuidade da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, observamos o limite interno:
\lim_{x\to -\infty} \frac{1}{x} = 0.
À medida que x fica muito grande em módulo e negativo, 1/x se aproxima de zero (pela esquerda, mas isso não altera o valor do limite da exponencial).

Passo 3

A função y\mapsto e^y é contínua em todo \mathbb{R}, logo podemos passar o limite para dentro da exponencial:
\lim_{x\to -\infty} e^{1/x} = e^{\;\lim_{x\to -\infty} (1/x)} = e^0 = 1.

Resposta

1

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