Calcule.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x}.
Aqui o conteúdo é análise de limites envolvendo radicais e comportamento para x\to-\infty. Vamos usar a técnica de fatorar o termo dominante dentro da raiz.

Passo 2

Extraímos x^2 debaixo da raiz:
\sqrt{x^{2}+2} = \sqrt{x^2\Bigl(1+\frac{2}{x^2}\Bigr)} = |x|\;\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}.

Passo 3

Como estamos fazendo x\to -\infty, temos x<0, logo
|x| = -x.
Substituindo na fração, fica
\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x} = \frac{-x\;\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}{x} = -\,\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}.

Passo 4

Ao fazermos x\to -\infty, o termo \tfrac{2}{x^2} tende a zero, portanto
\lim_{x\to -\infty}\sqrt{1+\frac{2}{x^2}} = \sqrt{1+0} = 1.
Assim o limite original é -1.

Resposta

-1

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