Calcule.
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x}.
O conteúdo aqui é o comportamento assintótico de expressões com raiz quadrada de polinômio de segundo grau, e vamos usar a identidade \sqrt{x^2}=|x| junto com o fato de que, para x\to -\infty, vale |x|=-x.

Passo 2

Dentro da raiz, fatoramos x^2:
\sqrt{x^{2}+2} =\sqrt{x^{2}\Bigl(1+\frac{2}{x^{2}}\Bigr)} =|x|\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}.
Como x\to -\infty, temos |x|=-x. Logo,
\sqrt{x^{2}+2}=-x\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}.

Passo 3

Substituímos na fração e simplificamos:
\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x} =\frac{-x\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}}{x} =-\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}.
Agora, quando x\to -\infty, \tfrac{2}{x^{2}}\to0, então
-\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}\;\longrightarrow\; -\sqrt{1}=-1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados