Calcule
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{3 x}{x^{2}-3}

Passo 1

O que o enunciado pede e quais dados temos: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{3x}{x^{2}-3}.
Informações relevantes dadas:
  • A variável x tende para -\infty.
  • A expressão é uma razão entre um polinômio de grau 1 (numerador) e um polinômio de grau 2 (denominador).

Passo 2

Ideia geral (sem pular etapas): quando x tende a infinito ou menos infinito, os termos de maior grau dominam o comportamento de polinômios. Uma maneira algébrica e segura de usar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador (aqui é x^{2}). Fazer isso transforma a expressão em termos que ficam pequenos (tendem a zero) quando |x| cresce muito, e aí podemos aplicar propriedades de limites componente a componente.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{2} (note que x\neq0 para x\to-\infty, então essa operação é válida):
\frac{3x}{x^{2}-3} = \frac{\dfrac{3x}{x^{2}}}{\dfrac{x^{2}-3}{x^{2}}} = \frac{\dfrac{3}{x}}{1-\dfrac{3}{x^{2}}}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento das partes quando x\to -\infty.
  • Para \dfrac{3}{x}: como o denominador |x| cresce sem limite, \dfrac{3}{x} tende a 0. Mais precisamente, para x\to -\infty esse quociente tende a 0 por valores negativos, mas o valor limite é 0:
\lim_{x\to -\infty}\frac{3}{x}=0.
  • Para \dfrac{3}{x^{2}}: como x^{2}\to +\infty quando |x|\to\infty, tem-se
\lim_{x\to -\infty}\frac{3}{x^{2}}=0.
Observe que \dfrac{3}{x^{2}} é sempre positivo, mas seu limite também é 0.

Passo 5

Usando que o limite do quociente existe quando o limite do numerador e do denominador (do novo quociente) existem e o limite do denominador é diferente de zero, obtemos:
\lim_{x\to -\infty}\frac{\dfrac{3}{x}}{1-\dfrac{3}{x^{2}}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{3}{x}}{\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\biggl(1-\frac{3}{x^{2}}\biggr)} = \frac{0}{1-0}=0.

Passo 6

Intuição rápida para guardar na prova: o grau do numerador ( 1) é menor que o grau do denominador ( 2), então a razão tende a 0 quando |x|\to\infty. Checagem numérica (só para confiança): para x=-100,
\frac{3(-100)}{10000-3}\approx\frac{-300}{9997}\approx-0{,}030,
um valor pequeno (próximo de zero) e negativo, que confirma a conclusão.

Resposta

0

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