Calcule
Passo 1
O que o enunciado pede e quais dados temos: calcular o limite
Informações relevantes dadas:
- A variável
tende para . - A expressão é uma razão entre um polinômio de grau 1 (numerador) e um polinômio de grau 2 (denominador).
Passo 2
Ideia geral (sem pular etapas): quando
tende a infinito ou menos infinito, os termos de maior grau dominam o comportamento de polinômios. Uma maneira algébrica e segura de usar isso é dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente no denominador (aqui é
). Fazer isso transforma a expressão em termos que ficam pequenos (tendem a zero) quando
cresce muito, e aí podemos aplicar propriedades de limites componente a componente.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
(note que
para
, então essa operação é válida):
Passo 4
Agora analisamos o comportamento das partes quando
.
- Para
: como o denominador cresce sem limite, tende a . Mais precisamente, para esse quociente tende a por valores negativos, mas o valor limite é :
- Para
: como quando , tem-se
Observe que
é sempre positivo, mas seu limite também é
.
Passo 5
Usando que o limite do quociente existe quando o limite do numerador e do denominador (do novo quociente) existem e o limite do denominador é diferente de zero, obtemos:
Passo 6
Intuição rápida para guardar na prova: o grau do numerador (
) é menor que o grau do denominador (
), então a razão tende a
quando
. Checagem numérica (só para confiança): para
,
um valor pequeno (próximo de zero) e negativo, que confirma a conclusão.