Ache os limites
e
, caso existam.
Passo 1
O enunciado pede explicitamente os três limites (se existirem) para a função dada no ponto
. As informações que temos:
- A função é
. - O ponto de interesse é
.
As perguntas são: - Calcular
, isto é . - Calcular
, isto é . - Calcular
, isto é .
Passo 2
Análise preliminar do que acontece em
.
- Observe que
anula o denominador em . Ou seja, a função não está definida em e temos uma singularidade do tipo divisão por zero. - Para estudar os limites laterais é útil fazer a substituição
. Quando temos . Os limites laterais correspondem a (pela esquerda) e (pela direita). - Reescrevendo
em termos de : com .
Passo 3
Cálculo do limite pela esquerda
.
- Pela esquerda significa
e muito próximo de . Então é um número pequeno e negativo: . - Para
negativo com pequeno, é um número negativo com módulo grande (por exemplo, se então e ; se então e ). - Portanto, conforme
temos . - Concluímos:
Passo 4
Cálculo do limite pela direita
.
- Pela direita significa
e muito próximo de . Então é um número pequeno e positivo: . - Para
positivo com pequeno, é um número positivo com módulo grande (por exemplo, se então e ; se então e ). - Portanto, conforme
temos . - Concluímos:
Passo 5
Conclusão sobre o limite bilateral
.
- Para que o limite
exista como número finito, os dois limites laterais devem existir e ser iguais. - Aqui obtivemos limites laterais diferentes (um vai para
e o outro para ). Mesmo que ambos sejam “infinitos”, como têm sinais opostos não há um único valor (finito nem infinito comum) que seja o limite bilateral. - Portanto o limite bilateral não existe (ou diz-se que diverge).