Ache os limites \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x), \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow a} f(x), caso existam.
f(x)=\frac{1}{x+8} ; a=-8

Passo 1

O enunciado pede explicitamente os três limites (se existirem) para a função dada no ponto a=-8. As informações que temos:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x+8}.
  • O ponto de interesse é a=-8.
    As perguntas são:
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to a^{-}} f(x), isto é \displaystyle \lim_{x\to -8^{-}} \dfrac{1}{x+8}.
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to a^{+}} f(x), isto é \displaystyle \lim_{x\to -8^{+}} \dfrac{1}{x+8}.
  • Calcular \displaystyle \lim_{x\to a} f(x), isto é \displaystyle \lim_{x\to -8} \dfrac{1}{x+8}.

Passo 2

Análise preliminar do que acontece em x=-8.
  • Observe que x+8 anula o denominador em x=-8. Ou seja, a função não está definida em x=-8 e temos uma singularidade do tipo divisão por zero.
  • Para estudar os limites laterais é útil fazer a substituição h=x+8. Quando x\to -8 temos h\to 0. Os limites laterais correspondem a h\to 0^{-} (pela esquerda) e h\to 0^{+} (pela direita).
  • Reescrevendo f em termos de h: f(x)=\dfrac{1}{x+8}=\dfrac{1}{h} com h\to 0.

Passo 3

Cálculo do limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to -8^{-}} \dfrac{1}{x+8}.
  • Pela esquerda significa x<-8 e muito próximo de -8. Então x+8=h é um número pequeno e negativo: h\to 0^{-}.
  • Para h negativo com |h| pequeno, \dfrac{1}{h} é um número negativo com módulo grande (por exemplo, se x=-8{,}1 então h=-0{,}1 e \dfrac{1}{h}=-10; se x=-8{,}01 então h=-0{,}01 e \dfrac{1}{h}=-100).
  • Portanto, conforme h\to 0^{-} temos \dfrac{1}{h}\to -\infty.
  • Concluímos:
\lim_{x\to -8^{-}} \dfrac{1}{x+8} = -\infty.

Passo 4

Cálculo do limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to -8^{+}} \dfrac{1}{x+8}.
  • Pela direita significa x>-8 e muito próximo de -8. Então x+8=h é um número pequeno e positivo: h\to 0^{+}.
  • Para h positivo com |h| pequeno, \dfrac{1}{h} é um número positivo com módulo grande (por exemplo, se x=-7{,}9 então h=0{,}1 e \dfrac{1}{h}=10; se x=-7{,}99 então h=0{,}01 e \dfrac{1}{h}=100).
  • Portanto, conforme h\to 0^{+} temos \dfrac{1}{h}\to +\infty.
  • Concluímos:
\lim_{x\to -8^{+}} \dfrac{1}{x+8} = +\infty.

Passo 5

Conclusão sobre o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to -8} \dfrac{1}{x+8}.
  • Para que o limite \displaystyle \lim_{x\to -8} f(x) exista como número finito, os dois limites laterais devem existir e ser iguais.
  • Aqui obtivemos limites laterais diferentes (um vai para -\infty e o outro para +\infty). Mesmo que ambos sejam “infinitos”, como têm sinais opostos não há um único valor (finito nem infinito comum) que seja o limite bilateral.
  • Portanto o limite bilateral não existe (ou diz-se que diverge).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to -8^{-}} \dfrac{1}{x+8} = -\infty
\displaystyle \lim_{x\to -8^{+}} \dfrac{1}{x+8} = +\infty
\displaystyle \lim_{x\to -8} \dfrac{1}{x+8} não existe

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