Ache os limites
e
, caso existam.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os três limites quando
tende para
com
:
-
(limite pela esquerda); -
(limite pela direita); -
(limite bilateral, duas direções).
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão tem um denominador
que é zero em . - O numerador é
, que também é zero em . - Portanto, em
a expressão é do tipo e a função não está definida aí; ainda assim os limites podem existir.
Passo 2
Vamos entender e explicar bem a propriedade do valor absoluto que vamos usar: para qualquer número real
Aqui vamos aplicar com
de forma “caso a caso” (peça por peça), o que é a maneira mais simples de avaliar limites laterais.]
Passo 3
Determinar os casos dependendo do sinal de
.
- Se
(ou seja, ), então e, para ,
Observação: essa simplificação só vale para
porque estamos cancelando
.
- Se
(ou seja, ), então e, para ,
- Em
a função é , logo não está definida aí (não interessa para o limite, mas é bom saber).
Resumo prático: para
próximo de
mas maior que
,
; para
próximo de
mas menor que
,
. É uma função que “salta” de
para
em
.
Passo 4
Cálculo do limite pela esquerda
.
Quando
nós aproximamos
por valores menores que
, isto é, na região onde
. Nessa região acabamos de ver que
para todo
suficientemente próximo de
. Se uma função é constante igual a
numa vizinhança à esquerda de
, o limite pela esquerda é exatamente esse valor constante. Portanto
(Outra forma de ver: escrever
com
pequeno; então
.)
Passo 5
Cálculo do limite pela direita
.
Quando
aproximamos
por valores maiores que
, isto é,
. Nessa região vimos que
para todo
suficientemente próximo de
. Assim o limite pela direita é esse valor:
(Analogamente, escrevendo
com
pequeno, tem-se
.)
Passo 6
Conclusão sobre o limite bilateral
.
Para que o limite bilateral exista, os limites pela esquerda e pela direita devem existir e ser iguais. Aqui obtivemos limites laterais diferentes:
Como
, o limite bilateral não existe.