Ache os limites \lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x), \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x) e \lim _{x \rightarrow a} f(x), caso existam.
f(x)=\frac{|x+5|}{x+5} ; a=-5

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{|x+5|}{x+5} e pede os três limites quando x tende para a com a=-5:
  • \displaystyle \lim_{x\to -5^{-}} f(x) (limite pela esquerda);
  • \displaystyle \lim_{x\to -5^{+}} f(x) (limite pela direita);
  • \displaystyle \lim_{x\to -5} f(x) (limite bilateral, duas direções).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão tem um denominador x+5 que é zero em x=-5.
  • O numerador é |x+5|, que também é zero em x=-5.
  • Portanto, em x=-5 a expressão é do tipo \dfrac{0}{0} e a função não está definida aí; ainda assim os limites podem existir.

Passo 2

Vamos entender e explicar bem a propriedade do valor absoluto que vamos usar: para qualquer número real u\), \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui vamos aplicar com u=x+5\]. Isso nos permite escrever \(f(x) de forma “caso a caso” (peça por peça), o que é a maneira mais simples de avaliar limites laterais.]

Passo 3

Determinar os casos dependendo do sinal de x+5.
  • Se x+5>0 (ou seja, x>-5), então |x+5|=x+5 e, para x\neq -5,
f(x)=\frac{|x+5|}{x+5}=\frac{x+5}{x+5}=1.
Observação: essa simplificação só vale para x\neq -5 porque estamos cancelando x+5.
  • Se x+5<0 (ou seja, x<-5), então |x+5|=-(x+5) e, para x\neq -5,
f(x)=\frac{|x+5|}{x+5}=\frac{-(x+5)}{x+5}=-1.
  • Em x=-5 a função é \dfrac{0}{0}, logo não está definida aí (não interessa para o limite, mas é bom saber).
Resumo prático: para x próximo de -5 mas maior que -5, f(x)=1; para x próximo de -5 mas menor que -5, f(x)=-1. É uma função que “salta” de -1 para 1 em -5.

Passo 4

Cálculo do limite pela esquerda \displaystyle \lim_{x\to -5^{-}} f(x).
Quando x\to -5^{-} nós aproximamos -5 por valores menores que -5, isto é, na região onde x<-5. Nessa região acabamos de ver que f(x)=-1 para todo x suficientemente próximo de -5. Se uma função é constante igual a -1 numa vizinhança à esquerda de -5, o limite pela esquerda é exatamente esse valor constante. Portanto
\lim_{x\to -5^{-}} f(x) = -1.
(Outra forma de ver: escrever x=-5+h com h<0 pequeno; então f(-5+h)=\dfrac{|h|}{h}=\dfrac{-h}{h}=-1.)

Passo 5

Cálculo do limite pela direita \displaystyle \lim_{x\to -5^{+}} f(x).
Quando x\to -5^{+} aproximamos -5 por valores maiores que -5, isto é, x>-5. Nessa região vimos que f(x)=1 para todo x suficientemente próximo de -5. Assim o limite pela direita é esse valor:
\lim_{x\to -5^{+}} f(x) = 1.
(Analogamente, escrevendo x=-5+h com h>0 pequeno, tem-se f(-5+h)=\dfrac{|h|}{h}=\dfrac{h}{h}=1.)

Passo 6

Conclusão sobre o limite bilateral \displaystyle \lim_{x\to -5} f(x).
Para que o limite bilateral exista, os limites pela esquerda e pela direita devem existir e ser iguais. Aqui obtivemos limites laterais diferentes:
\lim_{x\to -5^{-}} f(x) = -1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to -5^{+}} f(x) = 1.
Como -1\neq 1, o limite bilateral não existe.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to -5^{-}} f(x) = -1
\displaystyle \lim_{x\to -5^{+}} f(x) = 1
\displaystyle \lim_{x\to -5} f(x) não existe.

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