Calcule:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+1}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede claramente o seguinte: calcular
\lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{x^{3}}.
Informações dadas:
  • A expressão cuja limite precisa ser calculado é \dfrac{x+1}{x^{3}}.
  • A tendência é x\to\infty (ou seja, x cresce sem limite).

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão algébrica para ver termos mais simples cujo comportamento quando x\to\infty já conhecemos. Para x muito grande (em particular para x>0) podemos dividir numerador e denominador por x^{3}. Faço a divisão termo a termo:
\frac{x+1}{x^{3}}=\frac{x}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}.
Explicando: \dfrac{x}{x^{3}}=x^{1-3}=x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}} e \dfrac{1}{x^{3}} já está na forma desejada.

Passo 3

Agora analiso os limites dos termos separados. Vou mostrar por que cada um tende a zero. Primeiro, para \dfrac{1}{x^{2}}:
Seja \varepsilon>0. Escolho
N_{1}=\sqrt{\frac{1}{\varepsilon}}.
Para todo x>N_{1} (e x>0) vale
0<\frac{1}{x^{2}}<\frac{1}{N_{1}^{2}}=\varepsilon.
Isso prova que
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}=0.
De forma análoga, para \dfrac{1}{x^{3}} tomo
N_{2}=\sqrt[3]{\frac{1}{\varepsilon}},
e obtenho para x>N_{2}:
0<\frac{1}{x^{3}}<\varepsilon,
logo
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{3}}=0.
(Para usar um único N que funcione para ambos os termos, basta tomar N=\max(N_{1},N_{2}).)

Passo 4

Usando a propriedade de que o limite da soma é a soma dos limites (quando os limites individuais existem), tenho:
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}+\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{3}}=0+0=0.
Observação alternativa (mais intuitiva): para x\ge 1 tem-se
0<\frac{x+1}{x^{3}}\le\frac{x+x}{x^{3}}=\frac{2}{x^{2}},
e como \lim_{x\to\infty}\dfrac{2}{x^{2}}=0, pelo teorema do confronto segue que \lim_{x\to\infty}\dfrac{x+1}{x^{3}}=0. Usei o primeiro método porque é direto e envolve manipulações algébricas simples.

Resposta

0

Exercícios relacionados