Calcule:
Passo 1
O enunciado pede claramente o seguinte: calcular
Informações dadas:
- A expressão cuja limite precisa ser calculado é
. - A tendência é
(ou seja, cresce sem limite).
Passo 2
Primeiro vou simplificar a expressão algébrica para ver termos mais simples cujo comportamento quando
já conhecemos. Para
muito grande (em particular para
) podemos dividir numerador e denominador por
. Faço a divisão termo a termo:
Explicando:
e
já está na forma desejada.
Passo 3
Agora analiso os limites dos termos separados. Vou mostrar por que cada um tende a zero. Primeiro, para
:
Seja
. Escolho
Para todo
(e
) vale
Isso prova que
De forma análoga, para
tomo
e obtenho para
:
logo
(Para usar um único
que funcione para ambos os termos, basta tomar
.)
Passo 4
Usando a propriedade de que o limite da soma é a soma dos limites (quando os limites individuais existem), tenho:
Observação alternativa (mais intuitiva): para
tem-se
e como
, pelo teorema do confronto segue que
. Usei o primeiro método porque é direto e envolve manipulações algébricas simples.