Calcule:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{45}+12}{34 x-1}

Passo 1

O enunciado pede o seguinte limite:
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{45}+12}{34x-1}.
Informações dadas:
  • O numerador é o polinômio x^{45}+12 (grau 45).
  • O denominador é o polinômio 34x-1 (grau 1).
  • A variável x tende para +\infty.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): quando x cresce muito, entre os termos de um polinômio o termo de maior grau domina o comportamento. Para ver isso de forma algébrica, fatoramos as potências mais altas para separar o crescimento principal dos termos que viram zero quando x\to\infty.
Aplicando isso ao quociente, fatoramos x^{45} no numerador e x no denominador:
\frac{x^{45}+12}{34x-1} = \frac{x^{45}\bigl(1+12x^{-45}\bigr)}{x\bigl(34 - x^{-1}\bigr)} = x^{44}\cdot\frac{1+12x^{-45}}{34 - x^{-1}}.

Passo 3

Análise dos fatores que dependem de x:
  • Quando x\to\infty temos x^{-1}\to 0 e, portanto, x^{-45}\to 0.
  • Assim a fração que fica multiplicando x^{44} tende a
\lim_{x\to\infty}\frac{1+12x^{-45}}{34 - x^{-1}}=\frac{1+0}{34-0}=\frac{1}{34}.

Passo 4

Agora olhe o fator x^{44}. Para x\to\infty com x>0, x^{44} cresce sem limite, isto é,
\lim_{x\to\infty} x^{44}=+\infty.
Multiplicando algo que tende para +\infty por um número positivo fixo ( 1/34>0) resulta em +\infty. Portanto
\lim_{x\to\infty} x^{44}\cdot\frac{1+12x^{-45}}{34 - x^{-1}} = +\infty.

Passo 5

Observação de sinal: para x suficientemente grande o numerador e o denominador são positivos, então o limite é +\infty (não -\infty).

Resposta

+\infty

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