Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o seguinte limite:
Informações dadas:
- O numerador é o polinômio
(grau ). - O denominador é o polinômio
(grau ). - A variável
tende para .
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): quando
cresce muito, entre os termos de um polinômio o termo de maior grau domina o comportamento. Para ver isso de forma algébrica, fatoramos as potências mais altas para separar o crescimento principal dos termos que viram zero quando
.
Aplicando isso ao quociente, fatoramos
no numerador e
no denominador:
Passo 3
Análise dos fatores que dependem de
:
- Quando
temos e, portanto, . - Assim a fração que fica multiplicando
tende a
Passo 4
Agora olhe o fator
. Para
com
,
cresce sem limite, isto é,
Multiplicando algo que tende para
por um número positivo fixo (
) resulta em
. Portanto
Passo 5
Observação de sinal: para
suficientemente grande o numerador e o denominador são positivos, então o limite é
(não
).