Calcule:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{4 x^{2}-x}{2 x^{2}+9}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando x tende a infinito:
\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{4 x^{2}-x}{2 x^{2}+9}.
Informações dadas:
  • A expressão é uma função racional: numerador 4x^{2}-x e denominador 2x^{2}+9.
  • O ponto onde avaliaremos o limite é x\to\infty.

Passo 2

Ideia para resolver (estratégia que vou usar): quando x\to\infty os termos com maiores potências de x dominam o comportamento de polinômios. Uma técnica direta e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui é x^{2}). Isso “normaliza” a expressão e mostra claramente quais termos tendem a zero e quais permanecem. Vou aplicar exatamente isso, passo a passo.

Passo 3

Divido numerador e denominador por x^{2}. Primeiro fatoro x^{2} em ambos:
\frac{4 x^{2}-x}{2 x^{2}+9} = \frac{x^{2}\left(4-\dfrac{1}{x}\right)}{x^{2}\left(2+\dfrac{9}{x^{2}}\right)}.
Agora cancelo o fator comum x^{2} (válido para x\neq0, e estamos interessados em x\to\infty, então é OK):
\frac{4 x^{2}-x}{2 x^{2}+9} = \frac{4-\dfrac{1}{x}}{2+\dfrac{9}{x^{2}}}.

Passo 4

Agora analisamos os termos que envolvem x no denominador das frações internas quando x\to\infty.
Conhecimentos básicos de limites úteis aqui:
  • Para qualquer número real fixo a, vale \displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{a}{x}=0. Intuição: o denominador cresce sem limite, então a fração vai a zero.
  • Mais generally, se o expoente no denominador é maior que zero, como x^{2}, então \displaystyle \lim_{x\to\infty}\dfrac{a}{x^{2}}=0 também (cresce ainda mais rápido).
Aplicando isso:
\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0, \qquad \lim_{x\to\infty}\frac{9}{x^{2}}=0.

Passo 5

Com esses resultados, passo o limite para a forma simplificada:
\lim_{x\to\infty}\frac{4-\dfrac{1}{x}}{2+\dfrac{9}{x^{2}}} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(4-\dfrac{1}{x}\right)}{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(2+\dfrac{9}{x^{2}}\right)} = \frac{4-0}{2+0} = \frac{4}{2} = 2.
Comentário extra rápido (útil para a prova): sempre que o numerador e o denominador são polinômios com o mesmo grau (aqui ambos grau 2), o limite em infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui 4 e 2), o que dá o mesmo resultado 2. Se o grau do numerador fosse menor, o limite seria 0; se fosse maior, o limite seria infinito (ou -\infty dependendo dos sinais).

Resposta

2

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