Calcule:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do seguinte limite quando
tende a infinito:
Informações dadas:
- A expressão é uma função racional: numerador
e denominador . - O ponto onde avaliaremos o limite é
.
Passo 2
Ideia para resolver (estratégia que vou usar): quando
os termos com maiores potências de
dominam o comportamento de polinômios. Uma técnica direta e segura é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece (aqui é
). Isso “normaliza” a expressão e mostra claramente quais termos tendem a zero e quais permanecem. Vou aplicar exatamente isso, passo a passo.
Passo 3
Divido numerador e denominador por
. Primeiro fatoro
em ambos:
Agora cancelo o fator comum
(válido para
, e estamos interessados em
, então é OK):
Passo 4
Agora analisamos os termos que envolvem
no denominador das frações internas quando
.
Conhecimentos básicos de limites úteis aqui:
- Para qualquer número real fixo
, vale . Intuição: o denominador cresce sem limite, então a fração vai a zero. - Mais generally, se o expoente no denominador é maior que zero, como
, então também (cresce ainda mais rápido).
Aplicando isso:
Passo 5
Com esses resultados, passo o limite para a forma simplificada:
Comentário extra rápido (útil para a prova): sempre que o numerador e o denominador são polinômios com o mesmo grau (aqui ambos grau
), o limite em infinito é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui
e
), o que dá o mesmo resultado
. Se o grau do numerador fosse menor, o limite seria
; se fosse maior, o limite seria infinito (ou
dependendo dos sinais).