Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\sin 7 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x tende a 0 da função
\frac{x}{\sin 7x}.
Informações dadas:
  • A variável que tende a zero é x.
  • A expressão a avaliar é \dfrac{x}{\sin 7x}.
    O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Fazer uma mudança de variável simples facilita ver a forma padrão conhecida. Defina
u = 7x.
Quando x \to 0 também temos u \to 0. Reescrevendo a expressão em termos de u:
\frac{x}{\sin 7x} = \frac{x}{\sin u}.
Como u=7x, tem-se x = \dfrac{u}{7}. Substituindo:
\frac{x}{\sin 7x} = \frac{\dfrac{u}{7}}{\sin u} = \frac{1}{7}\cdot\frac{u}{\sin u}.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin 7x} = \frac{1}{7}\lim_{u\to 0}\frac{u}{\sin u}.

Passo 3

Agora precisamos do comportamento de \dfrac{u}{\sin u} quando u\to 0. É mais comum lembrar o limite padrão
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.
Vou demonstrar esse resultado clássico de maneira elementar (usando desigualdades geométricas e o teorema do confronto).
Considere u tal que 0<u<\tfrac{\pi}{2}. Pelas comparações geométricas de círculo, arco e triângulo retângulo vale
\sin u < u < \tan u.
Dividindo tudo por u\sin u (positivo nesse intervalo) obtemos
\frac{\sin u}{u} < 1 < \frac{1}{\cos u}.
Isto pode ser rearranjado para
\cos u < \frac{\sin u}{u} < 1.
Como \lim_{u\to 0}\cos u = 1, pelo teorema do confronto segue que
\lim_{u\to 0^+}\frac{\sin u}{u}=1.
Para u<0 usa-se que \sin(-u)=-\sin u, portanto a mesma conclusão vale ao aproximar por valores negativos; assim
\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1.

Passo 4

A partir de \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1 deduzimos que \lim_{u\to 0}\dfrac{u}{\sin u}=1 (é o recíproco de algo que tende a 1 e que é não-nulo perto de 0). Voltando à expressão do Passo 2:
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin 7x} = \frac{1}{7}\lim_{u\to 0}\frac{u}{\sin u} = \frac{1}{7}\cdot 1.

Resposta

\dfrac{1}{7}

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