Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando
tende a
da função
Informações dadas:
- A variável que tende a zero é
. - A expressão a avaliar é
.
O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Fazer uma mudança de variável simples facilita ver a forma padrão conhecida. Defina
Quando
também temos
. Reescrevendo a expressão em termos de
:
Como
, tem-se
. Substituindo:
Portanto
Passo 3
Agora precisamos do comportamento de
quando
. É mais comum lembrar o limite padrão
Vou demonstrar esse resultado clássico de maneira elementar (usando desigualdades geométricas e o teorema do confronto).
Considere
tal que
. Pelas comparações geométricas de círculo, arco e triângulo retângulo vale
Dividindo tudo por
(positivo nesse intervalo) obtemos
Isto pode ser rearranjado para
Como
, pelo teorema do confronto segue que
Para
usa-se que
, portanto a mesma conclusão vale ao aproximar por valores negativos; assim
Passo 4
A partir de
deduzimos que
(é o recíproco de algo que tende a
e que é não-nulo perto de
). Voltando à expressão do Passo 2: