Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}.
Observações importantes que virão a ser usadas:
  • A expressão envolve raízes quadradas, então está bem definida apenas para x\ge 0. Por isso o limite é, na prática, o limite à direita x\to 0^+.
  • A função é não-negativa para x\ge0; logo a razão está entre 0 e +\infty. Vou construir uma desigualdade que compare essa razão com uma potência de x que tenda a zero, e usar o Teorema do Confronto (squeeze).

Passo 2

Ferramentas que vou usar (explicando didaticamente):
  • A função t\mapsto \sqrt{t} é crescente para t\ge0: se a\ge b\ge0 então \sqrt{a}\ge\sqrt{b}. Isso permite usar desigualdades dentro de raízes.
  • Se eu conseguir mostrar que, para 0<x\le 1, a expressão está entre 0 e x^{3/8} (ou outra função que vá a 0), então pelo Teorema do Confronto a limite será 0.
Agora aplico desigualdades elementares usando monotonicidade da raiz.

Passo 3

Para x\ge0 temos, trivialmente,
x+\sqrt{x+\sqrt{x}}\ge \sqrt{x+\sqrt{x}},
porque somar x\ge0 aumenta o valor. Como \sqrt{\cdot} é crescente, aplicando raiz quadrada aos dois lados obtemos
\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\ge \sqrt{\sqrt{x+\sqrt{x}}}.

Passo 4

Ainda para x\ge0 é verdade que x+\sqrt{x}\ge \sqrt{x} (pois x\ge0). Aplicando a raiz quadrada, pela monotonicidade,
\sqrt{x+\sqrt{x}}\ge \sqrt{\sqrt{x}}.
Compondo com a desigualdade do passo anterior (aplicando novamente \sqrt{\cdot} que é crescente) resulta
\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\ge \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}.

Passo 5

Escrevendo as potências explícitas, \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}}=x^{1/8}. Assim, para todo x\ge0 (em particular para 0<x\le1) temos
\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}\ge x^{1/8}.
Portanto a razão original satisfaz
0\le \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\le \frac{\sqrt{x}}{x^{1/8}}.

Passo 6

Simplificando a potência no lado direito:
\frac{\sqrt{x}}{x^{1/8}}=x^{1/2-1/8}=x^{3/8}.
Logo para 0<x\le1 temos
0\le \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}\le x^{3/8}.

Passo 7

Aplicando o Teorema do Confronto: como \lim_{x\to0^+} x^{3/8}=0 e a função está entre 0 e x^{3/8}, concluímos
\lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=0.

Resposta

0

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