Calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular
Observações importantes que virão a ser usadas:
- A expressão envolve raízes quadradas, então está bem definida apenas para
. Por isso o limite é, na prática, o limite à direita . - A função é não-negativa para
; logo a razão está entre e . Vou construir uma desigualdade que compare essa razão com uma potência de que tenda a zero, e usar o Teorema do Confronto (squeeze).
Passo 2
Ferramentas que vou usar (explicando didaticamente):
- A função
é crescente para : se então . Isso permite usar desigualdades dentro de raízes. - Se eu conseguir mostrar que, para
, a expressão está entre e (ou outra função que vá a ), então pelo Teorema do Confronto a limite será .
Agora aplico desigualdades elementares usando monotonicidade da raiz.
Passo 3
Para
temos, trivialmente,
porque somar
aumenta o valor. Como
é crescente, aplicando raiz quadrada aos dois lados obtemos
Passo 4
Ainda para
é verdade que
(pois
). Aplicando a raiz quadrada, pela monotonicidade,
Compondo com a desigualdade do passo anterior (aplicando novamente
que é crescente) resulta
Passo 5
Escrevendo as potências explícitas,
. Assim, para todo
(em particular para
) temos
Portanto a razão original satisfaz
Passo 6
Simplificando a potência no lado direito:
Logo para
temos
Passo 7
Aplicando o Teorema do Confronto: como
e a função está entre
e
, concluímos
Resposta
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