Calcule
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+\operatorname{sen}(x)}{3 x-\cos (x)}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\frac{x+\sin(x)}{3x-\cos(x)}.
Aqui a ideia é perceber que, para x\to\infty, os termos x e 3x dominam, enquanto \sin(x) e \cos(x) ficam sempre entre -1 e 1. Vamos usar a propriedade de limites de quocientes e o fato de que funções limitadas divididas por x tendem a zero.

Passo 2

Fatoramos x em numerador e denominador:
\frac{x+\sin(x)}{3x-\cos(x)} =\frac{x\bigl(1+\frac{\sin(x)}{x}\bigr)}{x\bigl(3-\frac{\cos(x)}{x}\bigr)} =\frac{1+\frac{\sin(x)}{x}}{3-\frac{\cos(x)}{x}}.

Passo 3

Sabemos que
\lim_{x\to\infty}\frac{\sin(x)}{x}=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to\infty}\frac{\cos(x)}{x}=0.
Aplicando essas convergências no quociente, obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{1+\frac{\sin(x)}{x}}{3-\frac{\cos(x)}{x}} =\frac{1+0}{3-0} =\frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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