O enunciado pede o cálculo do limite \lim_{x\to\infty}e^{-x}\sin(x). Vamos usar o Teorema do Confronto, pois temos uma função exponencial que tende a zero e a função \sin(x) é limitada.
Passo 2
Como para todo x vale \bigl|\sin(x)\bigr|\le1, obtemos
\bigl|e^{-x}\sin(x)\bigr|\le e^{-x}.
Mas \lim_{x\to\infty}e^{-x}=0.
Passo 3
Pelo Teorema do Confronto (Sanduíche), como
-e^{-x}\le e^{-x}\sin(x)\le e^{-x}
e ambos os limites dos extremos são zero, concluímos que