Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o valor do seguinte limite quando
tende para menos infinito:
Informações dadas:
- A expressão é
. - A variável
se aproxima de (ou seja, valores negativos com módulo cada vez maior).
O objetivo é determinar o comportamento da expressão quandofica muito, muito negativo.
Passo 2
Entender o comportamento da potência ímpar: quando
, o termo
também tende para valores negativos com módulo muito grande. Uma forma simples de ver isso é escrever
com
; então
que fica cada vez mais negativo conforme
cresce. Logo,
cresce em magnitude no sentido negativo.
Passo 3
Analisar como o termo
influencia: para polinômios, quando
é muito grande, o termo de maior grau domina. Aqui o termo dominante é
; o
é pequeno em comparação a
quando
é grande. Para fazer isso rigoroamente, fatoramos:
Passo 4
Estudar o fator dentro do parêntese: quando
temos
, portanto
Isso implica que
Ou seja, o parêntese tende para o número
(um limite finito e diferente de zero).
Passo 5
Agora combine os limites por fatores: o produto
é o produto de um fator
que, como visto no Passo 2, tende para valores negativos com módulo arbitrariamente grande, e de um fator que tende para
. Quando um fator tende para um número finito não nulo e o outro tende para um crescimento sem limite no sentido negativo, o produto tende para crescimento sem limite no sentido negativo. Em palavras: o comportamento é dominado por
.
Passo 6
Intuição final (resumindo de forma prática para a prova): para um polinômio, o termo de maior grau decide o limite no infinito. Como o grau é ímpar (
) e o coeficiente líder é positivo (
), ao fazer
muito negativo o polinômio vai para valores negativos de grande magnitude. Portanto o limite é um crescimento sem limite no sentido negativo.