Calcule
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(3 x^{3}-4\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor do seguinte limite quando x tende para menos infinito:
\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(3x^{3}-4\right).
Informações dadas:
  • A expressão é 3x^{3}-4.
  • A variável x se aproxima de -\infty (ou seja, valores negativos com módulo cada vez maior).
    O objetivo é determinar o comportamento da expressão quando x fica muito, muito negativo.

Passo 2

Entender o comportamento da potência ímpar: quando x\rightarrow -\infty, o termo x^{3} também tende para valores negativos com módulo muito grande. Uma forma simples de ver isso é escrever x=-M com M\rightarrow +\infty; então
x^{3}=(-M)^{3}=-M^{3},
que fica cada vez mais negativo conforme M cresce. Logo, x^{3} cresce em magnitude no sentido negativo.

Passo 3

Analisar como o termo -4 influencia: para polinômios, quando |x| é muito grande, o termo de maior grau domina. Aqui o termo dominante é 3x^{3}; o -4 é pequeno em comparação a 3x^{3} quando |x| é grande. Para fazer isso rigoroamente, fatoramos:
3x^{3}-4=3x^{3}\left(1-\frac{4}{3x^{3}}\right).

Passo 4

Estudar o fator dentro do parêntese: quando x\rightarrow -\infty temos x^{3}\rightarrow -\infty, portanto
\frac{4}{3x^{3}}\rightarrow 0.
Isso implica que
1-\frac{4}{3x^{3}}\rightarrow 1.
Ou seja, o parêntese tende para o número 1 (um limite finito e diferente de zero).

Passo 5

Agora combine os limites por fatores: o produto
3x^{3}\left(1-\frac{4}{3x^{3}}\right)
é o produto de um fator 3x^{3} que, como visto no Passo 2, tende para valores negativos com módulo arbitrariamente grande, e de um fator que tende para 1. Quando um fator tende para um número finito não nulo e o outro tende para um crescimento sem limite no sentido negativo, o produto tende para crescimento sem limite no sentido negativo. Em palavras: o comportamento é dominado por 3x^{3}.

Passo 6

Intuição final (resumindo de forma prática para a prova): para um polinômio, o termo de maior grau decide o limite no infinito. Como o grau é ímpar ( 3) e o coeficiente líder é positivo ( 3), ao fazer x muito negativo o polinômio vai para valores negativos de grande magnitude. Portanto o limite é um crescimento sem limite no sentido negativo.

Resposta

-\infty

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